Infinite Sequence (Easy Version)

思路#

题意

给定一个正整数 $n$ 和一个无限二进制序列 $a$ 的前 $n$ 项, 该序列定义如下:
对于 $m > n$, $a_m = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}$

$t$ 次询问 $(t \leq 10^4)$ , 求 $a_i$ 值, 其中 $1 \leq i \leq 10^{18}$
其中 $a_i \in \{0, 1\}$

这不用找规律?
试图矩阵快速幂

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_{\frac{i}{2}},\text{ case }i\text{ mod }2=0\\ a_i\leftarrow a_{i-1},\text{ otherwise}\end{array}\end{array}$$

倘若维护

$$\left(\begin{array}{c}{a}_i\\ a_{\frac{i+1}{2}}\end{array}\right)$$

在更新 $a_{\frac{i+1}{2}}$ 需要其他信息, 因此不行

哎哎哎, 看了题解怎么是暴力优化
发现异或操作的性质是: 两个相同数异或可以无视

为了方便起见, 假设 $n$ 是奇数（如果不是，递增 $n$ 共单独处理边界情况）。首先预计算前 $2n$ 项或等于 $2n$ 的查询，直接返回预计算的值。对于 $2m>n$，观察以下关系：

$$a_{2m}=a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_m=a_{2m+1}$$

定义 $p=a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n$，我们可以将异或和分解为：

$$a_{2m}=a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_m=a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n\oplus (a_{n+1}\oplus a_{n+2})\oplus (a_{n+3}\oplus a_{n+4})\oplus \dots \oplus a_m$$

由于 $n$ 是奇数，成对的 $(a_{n+1}\oplus a_{n+2})$, $(a_{n+3}\oplus a_{n+4})$, $\dots$，会相互抵消。这简化了公式为：

$$a_{2m}=a_{2m+1}=\{\begin{array}{ll}p& \text{case }m\text{ mod }2=1\\ p\oplus a_m& \text{otherwise }\end{array}$$

因此，我们可以通过递归地将 $m$ 减半来计算 $a_m$，直到 $m\le 2n$，并在每一步应用奇偶性规则。总体时间复杂度为：

$$O(\log (m))$$

总结#

异或性质