[ARC108F] Paint Tree

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前言#

复习什么的就留到下周了, 顺便把格式调好

现在把每日一练打了差不多

今天补了一下午的 $\mathrm{T}2$ , 终于还是被码力问题击碎了, 不过也还好

这道题是模拟赛 $\mathrm{T}3$

吉司机线段树和左偏树都只能明天搞了, 明天把 $\mathrm{C}$ 打了开摆

思路#

首先那几个 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$ 都没有 $\mathrm{T}2$ 难, 就不管了

然后就是正解思路

首先, 这种题一般要根据答案算方案数
所以我们考虑计算答案等于 $d$ 的方案数, 至少要求出对于任意一个点, 离他的距离 $>d$ 的点的位置

解决方法如下

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题解摘抄#

先求出一条直径, 若直径的两个端点颜色相同, 则最长距离一定为直径
否则, 令两个端点分别为 $x,y$ , 并钦定 $x,y$ 不同色
枚举答案 $d$ , 所有到 $x$ 距离 $>d$ 的点颜色必须与 $y$ 一样, 所有到 $y$ 距离 $>d$ 的点颜色必须和 $x$ 一样

考虑证明为什么要取直径的两个端点
由于 $x,y$ 是直径的两个端点, 可以发现, 若一个点 $z$ 到 $x,y$ 的距离都不超过 $d$ , 则其到任何一个点的距离不超过 $d$ , 所以 $z$ 的颜色并不会对答案产生影响

所以, 定义 $cn{t}_i$ 表示到直径两端的距离不超过 $i$ 的点数 , 定义 $f_d$ 表示答案不超过 $d$ 的树的形态数, $g_d$ 表示答案为 $d$ 的树的形态数, $di{s}_{1/2}$ 表示从直径的两端点出发到其他点的距离
定义 $L=max(min(dis{1}_i,dis{2}_i))$ 的意义为, 在所有形态的树中, 最小的答案(同色点对最大距离) , 对于每个点取到直径两端点近的那个颜色即可

最终的总权值为 ${\displaystyle \sum _{i=L}^S{g}_i\times i}$

容易得到 $f_d=2^{cn{t}_d}$
。但是我们想要答案等于 $d$
的树的形态数 $g_i$
。很明显, 只需要容斥减去 $f_{d-1}$
即可, 也就是 $g_d=f_d-f_{d-1}$
。

注意 $x,y$
共有 $2$
种颜色分配方案。

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初步理解#

我的理解是, 你要知道对于每个点, 到他的距离 $>d$ 的点有哪些, 从而通过确定这个点的颜色来确定到他的距离 $>d$ 的点的颜色, 像是一个连通块的样子
然后你发现一个点是没有用的, 仅当其到任何点的距离都 $\le d$ , 联想到直径

你发现确定一个点, 可以递归确定所有到某个点距离 $>d$ 的点的颜色, 考虑怎么确定
你发现直径 $(x,y)$ 的一个性质
如果 $dis(u,v)>d$ , 那么一定有 $dis(u,x)>d$ 或者 $dis(u,y)>d$ , $dis(v,x)>d$ 或者 $dis(v,y)>d$ , 其中 $u,v$ 异色, 你发现对于两个有用的点, 如果不是异色一定是同色的

具体证明一下, 如果存在 $dis(u,x)>d$ 且 $dis(v,x)>d$ , 一定不存在染色, 所以不管这种情况, 还有 $dis(u,y)>d$ 且 $dis(v,y)>d$
分成两种情况讨论

• $dis(u,x)>d,dis(v,y)>d$
• $dis(u,y)>d,dis(v,x)>d$

发现两种情况本质相同, 只是 $(u,v)$ 的顺序问题
我们只考虑 $dis(u,x)>d,dis(v,y)>d$ , 也一定能考虑到所有点对 $(u,v)$

分类讨论之后, 你确定 $x$ 的颜色, 就可以确定所有 $u$ 的颜色, 确定 $y$ 的颜色, 就可以确定所有 $v$ 的颜色, 还是很好做的

还有一个误区是 $L$ 的计算, 且听下回分解

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最终理解#

捋一下

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$ 还是跳过, 考试的时候甚至没有想, 大体思路也如下

首先考虑一般性问题, 我们枚举答案 $d$ , 考虑这种情况下如何分配颜色
发现任意点对 $(u,v)\text{ s.t. }\text{dis}(u,v)>d$ , 满足 $u=\bar{v}$
这个问题怎么处理, 我们丢掉 $\nexists v\text{ s.t. }\text{dis}(u,v)>d$ 的 $u$ 点, 容易证明的是余下的所有点一定可以被确定颜色, 记这些点的集合为 $\mathbb{V}$

这里会出现一个问题, 如果让被丢掉的 $u$ 点随意分配颜色, 那么就变成「至多」答案为 $d$ , 我们一会再考虑这个问题

考虑剩下的点中如何处理, 特别的, 以下的讨论都仅在 $\mathbb{V}$ 中进行

暴力思路#

$\mathrm{\forall }(u,v)\text{ s.t. }\text{dis}(u,v)>d$ , 对其建边, 跑二分图染色即可
对于单个 $d$ , 时空都是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的

具体的, 如果二分图染色出来无解那么必不存在这种情况, 否则方案数就是不在 $\mathbb{V}$ 里面的点随意分配颜色的方案数 $\times 2$ , 意思是二分图的两个部分的颜色可以交换

注意这里的方案数是所有答案 $\le d$ 的情况的方案数
所以需要简单容斥

我猜你想用
${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})g(i)⟺g(x)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})f(i)}$
但是你容易发现, ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})}$ 是不需要的, 所以实际上只需要
${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{x}g(i)⟺g(x)=f(x)-f(x-1)}$
注意这种做法仍然错误, 因为 $f(x)$ 的计算显然不应该从 $0$ 开始, 会导致答案错误, 因为本不应该出现这种情况, 处理方式见下

你发现 $d$ 的合法性是单调的, 考虑二分 $d$ 找到最早的合法位置记为 $L$ , 那么 $L$ 之前的都无解, $L$ 之后的我们可以正常处理即可, 复杂度 $\mathcal{O}(n^2\log n)$
然后如果一个 $d$ 使得所有点都没有用了, 记为 $R$ , 那么 $R$ 之后的都是无解, $R$ 显然是直径长度
特别的是如果 $d=R$ , 那么可以乱放, $d>R$ 都没有意义了

具体的, 把上面的柿子变成
${\displaystyle f(x)=\sum _{i=L}^{x}g(i)⟺g(x)=f(x)-f(x-1),x\in [L,R]}$
$f(x)=2\times 2^{n-|\mathbb{V}|}$, $x\ne R$
$f(R)=2^{n-|\mathbb{V}|}$
现在只需要动态维护 $i\in [L,R)$ , 符合条件的点集 $\mathbb{V}$ 即可
你可以用一个堆维护每个 $u$ 的 $\underset{u\ne v}{max}\text{dis}(u,v)$ , 复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$

还要证明二分图联通, 因为不连通需要乘以 $2^{cnt}$ 而不是 $2$ , 其中 $cnt$ 为连通块个数
这个是由直径的性质导出的, 假设直径两端端点为 $x,y$ , $\text{dis}(u,v)>d⟺\text{dis}(u,x)>d\text{ or }\text{dis}(u,y)>d,\text{dis}(v,x)>d\text{ or }\text{dis}(v,y)>d$ , 因为一定有连边 $(x,y)$ , 所以任意 $(u,v)$ 联通, 如果没有连边$(x,y)$ , 要么就是 $d=R$ , 要么就无解

正解思路#

正解至少要做到 $\mathcal{O}(n\log n)$

瓶颈在找 $L$ , 考虑其意义
太神秘了不考虑了, 这题弄懂这部分通用的就行了

总结#

树上距离最大的问题, 往往可以向直径的方向转化
巧妙地地方在, 利用了直径的好性质

这种异色约束, 考虑找性质「异异得正」

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常见的枚举答案算方案数的 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$
但是一定要注意答案的意义, 无意义的答案一定不能计算

这种两种状态的约束问题一定要找性质, 一般可以类似 $\text{2-rm{SAT}}$ 处理

容斥解决一类算重问题, 这种特殊的可以类似差分处理

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复习

这个题好像很复杂的样子, 那我复习

思路#

题意

给定一棵 $n$ 个节点的树, 你需要对每个节点黑白染色

设 $x$ 表示白色点之间的最大距离, $y$ 表示黑色点之间的最大距离，那么定义一种染色的权值为 $\max(x,y)$
如果某种颜色没有出现那么对应的 $x/y$ 就是 $0$

求所有 $2^n$ 种染色方式的权值和

公式化做题

• 求多种方式的贡献和
  • 往往更改贡献主题, 求花费对应的操作方式个数

那么我们要计算有多少种操作方式使得 $max(x,y)=d$
也就是说, 对于所有 $\text{dis}(u,v)>d$ 的点对, 都有 $u=\bar{v}$
考虑所有这样的点对, 不难发现可以用二分图染色解决存在性, 然后方案数就是 $2^{cnt}$ 倍的不属于任意点对约束的点随意分配的方案数

但是这样答案是 $\le d$ 的, 不一定是 $d$
显然需要进简单容斥, 同之前写的

因为我们要计算所有 $d\in [L,R]$ 的答案, $L$ 显然二分可知, $R$ 就是原树上直径的长度
唯一的问题是计算不属于任意点对约束的点的个数
不难发现可以通过直径的性质去做