[NOI2007] 货币兑换

前言

想起之前一道叫股票的题, 也是这么长的题面, 不过事已至此, 先读题吧

最近这么菜一定要记住每日一练和 $w h k$ 啊

思路

首先直觉是比例不好处理, 肯定是要转化的

发现最后写了一句

必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币, 每次卖出操作卖出所有的金券

有这个性质明显更好做, 每次可以钦定 $O P = 100$ , 但是为什么呢, 考虑证明
你发现每次买入相当于对 $n u m_{A}, n u m_{B}$ 的比例进行调整, 每次卖出相当于按照这个比例和 $A_{k}, B_{k}$ 的比例赚钱
形式化的来讲, 买入相当于

r a t e = \frac{n u m_{A}}{n u m_{B}} \to \frac{n u m_{A} + \frac{R a t e_{k} I P}{R a t e_{k} A_{k} + B_{k}}}{n u m_{B} + \frac{I P}{R a t e_{k} A_{k} + B_{k}}} n u m_{B} \leftarrow n u m_{B} + \frac{I P}{R a t e_{k} A_{k} + B_{k}}

卖出相当于

\begin{aligned} p r o f i t & = (n u m_{A} A_{k} + n u m_{B} B_{k}) \times O P % \\ = n u m_{B} (A_{K} r a t e + B_{k}) \times O P % \end{aligned}

一次能赚钱, 显然是要把 $A_{k}, B_{k}$ 全部甩出去赚的最多, 买入同理

你可以当我没有证明, 我自己也看不懂

考虑现在怎么做
你发现, 如果把 $N$ 天分成 $k$ 段由买入和卖出组成的时间区间 $[l, r]$ , (注意 $l = r$ 是非法的; 同天内只考虑先卖再买, 不然没有意义) , 我们可以考虑 $d p$

令 $f_{i}$ 表示对于以 $i$ 结尾的分段, 最优的利润 (也就是手上还有多少钱)
也就是说买 $A, B$ 的数量为

x_{i} = \frac{f_{i} R a t e_{i}}{A_{i} R a t e_{i} + B_{i}} y_{i} = \frac{f_{i}}{A_{i} R a t e_{i} + B_{i}}

容易写出柿子

\begin{array}{r} f_{i} \leftarrow {\begin{cases} f_{i - 1} \\ max_{j \in [0, i)} A_{i} x_{j} + B_{i} y_{j} \end{cases} \end{array}

考虑第二个柿子怎么处理
你发现这种跟 $i, j$ 都有关的东西, 拆一下转化成斜率优化的形式即可

首先化成同项, 否则就会像下面一样

\begin{array}{r} f_{i} \leftarrow {\begin{cases} f_{i - 1} \\ max_{j \in [0, i)} \frac{(A_{i} R a t e_{j} + B_{i}) f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} \end{cases} \end{array}

⇓

\begin{aligned} f_{i} & = max_{j \in [0, i)} \frac{(A_{i} R a t e_{j} + B_{i}) f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} \\ f_{i} & = \frac{(A_{i} R a t e_{j} + B_{i}) f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} \\ f_{i} & = \frac{(A_{i} R a t e_{j} + B_{i}) f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} \end{aligned}

根本不对

也不能找 $x_{j}, y_{j}$ 的关系

f_{i} \leftarrow max_{j \in [0, i)} A_{i} x_{j} + B_{i} y_{j} f_{i} \leftarrow max_{j \in [0, i)} A_{i} y_{j} R a t e_{j} + B_{i} y_{j} f_{i} \leftarrow max_{j \in [0, i)} y_{j} (A_{i} R a t e_{j} + B_{i})

考虑

f_{i} \leftarrow max_{j \in [0, i)} A_{i} x_{j} + B_{i} y_{j} f_{i} \leftarrow max_{j \in [0, i)} B_{i} (\frac{A_{i}}{B_{i}} x_{j} + y_{j}) f_{i} \leftarrow B_{i} max_{j \in [0, i)} (\frac{A_{i}}{B_{i}} x_{j} + y_{j})

继续转化, 记 $\frac{A_{i}}{B_{i}} = v_{i}$

\begin{aligned} f_{i} & = (v_{i} x_{j} + y_{j}) \\ f_{i} & = v_{i} \frac{f_{j} R a t e_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} + \frac{f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}} \end{aligned}

可以令 $x = v_{i}, y = f_{i}, k = \frac{f_{j} R a t e_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}}, b = \frac{f_{j}}{A_{j} R a t e_{j} + B_{j}}$ 李超线段树维护

发现 $x$ 可能为小数, 怎么办
我们考虑把 $x$ 离散化对应到整数上即可, 不影响答案

注意去重函数的精度问题

实现

这种经典题要写代码, 第一道李超线段树

总结

斜率优化类问题常见的区间划分, 一般来说, 买卖问题这种两点型问题, 时间区间划分很常见

注意讨论啥也不干的情况
注意斜率优化把 $i, j$ 都有的柿子化成同项之后再处理, 一般的方法是提出一个只与 $i$ 相关的因式
这题也是巧妙地转化, 人类智慧美丽时刻

遇到小数可以考虑离散化

posted @ 2025-01-15 17:09 Yorg 阅读(6) 评论(0) 编辑收藏举报

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