[ZJOI2007] 仓库建设

前言

这些题全部口胡, 到李超线段树了再打代码

好累啊, 昨晚上不该太晚睡的, 中午他们期末也没睡, 精神萎靡

思路

先简化一下题意

对于 $n$ 个点, 第 $i$ 个点所在的位置为 $x_i$ , 其有 $p_i$ 个物品, 在 $i$ 点建立仓库的费用为 $c_i$ , 求建造仓库的点集 $\mathbb{S}$ , 使得 ${\displaystyle cost=\sum _{p\in \mathbb{S}}{c}_p+\sum _{p_k\in \mathbb{S}}\sum _{i=p_{k-1}+1}^{p_k-1}{p}_i(x_i-x_{p_k})}$ 最小

容易发现, 问题可以进一步简化成

对于 $n$ 个点, 第 $i$ 个点所在的位置为 $x_i$ , 其有 $p_i$ 个物品, 在 $i$ 点建立仓库的费用为 $c_i$ , 将 $n$ 个点划分成任意长度的段 $[L,R]$ , 一个段的花费为 ${\displaystyle c_R+\sum _{i=L}^R{p}_i(x_R-x_i)}$

容易发现贡献柿子可以进一步优化成

$$\begin{array}{rl}& c_R+\sum _{i=L}^R{p}_i(x_R-x_i)\\ =& c_R+\sum _{i=L}^R{x}_R{p}_i-x_i{p}_i\end{array}$$

写成转移, 套路的令 $f_i$ 表示考虑到前 $i$ 个点的最优花费, 记 $w_i$ 表示 $x_i{p}_i$

$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\underset{j=0}{\overset{i-1}{min}}{f}_j+c_i+x_i(pre{p}_i-pre{p}_j)-(pre{w}_i-pre{w}_j)\\ & =x_{i}pre{p}_i-pre{w}_i+\underset{j=0}{\overset{i-1}{min}}{f}_j-x_{i}pre{p}_j+pre{w}_j\end{array}$$

容易搞成斜率优化的形式, 简单的做即可

特别的, 有后缀 $p_i=0$ , 贪心的取 ${f_i}_{min}$ 即可