[SDOI2012] 任务安排

前言

颓颓頽, 哎大家怎么都卷飞了

事已至此, 接着打

思路

首先容易考虑到 $\mathrm{d}\mathrm{p}$
考虑令 $f_i$ 表示解决了前 $i$ 个任务的最小费用
你发现直接转移是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的, 需要进一步优化
考虑费用提前计算, 当前的分组 $[L,R]$ 对后面的花费影响是 ${\displaystyle s\times \sum _{i=L}^n{C}_i+\sum _{i=1}^n{T}_i\times \sum _{i=L}^R{C}_i}$
据此写出转移方程,

$$f_i\leftarrow \underset{j=0}{\overset{i-1}{min}}{f}_j+s\times {\text{suf}}_i+{\text{pre}}_i\times ({\text{suf}}_i-{\text{suf}}_j)$$

考虑拆一下这个柿子

$$\begin{array}{rl}& f_j+s\cdot {\text{suf}}_i+{\text{pre}}_i({\text{suf}}_i-{\text{suf}}_j)\\ =& s\cdot {\text{suf}}_i+{\text{pre}}_i\cdot {\text{suf}}_i+f_j-{\text{pre}}_i\cdot {\text{suf}}_j\end{array}$$

简单的化一下
首先令 $w_i=s\cdot {\text{suf}}_i+{\text{pre}}_i\cdot {\text{suf}}_i$

$$f_i\leftarrow w_i+\underset{j=0}{\overset{i-1}{min}}{f}_j-{\text{pre}}_i\cdot {\text{suf}}_j$$

很经典的斜率优化, 不在赘述

总结

费用提前计算可以省去一维, 常见的模型: 时间叠加