[HNOI2008] 玩具装箱

前言

终于进入新专题了家人们

列举一下还要补的专题

1. 矩阵快速幂
2. 组合数学
3. $\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{p}$

不过先不管了, 除了复习, 大部分时候总要向前看的嘛

考试的时候带着耳塞, 不带感觉好吵啊, 但是一直带着会神经衰弱的, 所以只能尝试集中注意力

思路

首先转化题意

给定 $n$ 条线段, 第 $i$ 条线段的长度为 $C_i$ , 我们要将这些线段分开, 其中一个分段 $[L,R]$ 的花费为 $cost=(R-L+\sum _{i=L}^R{C}_i-W{)}^2$ , 求最小的花费之和

容易想到 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ , 令 $d{p}_i$ 表示考虑到第 $i$ 条线段的最优花费
容易找到转移

$$\begin{array}{rl}d{p}_i& =\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(i-j-1+pr{e}_i-pr{e}_j-W{)}^2\\ & =\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+[(pr{e}_i+i)-(pr{e}_j+j)-(W+1){]}^2\\ \mathrm{令}k& =(W+1),v_i=pr{e}_i+i\\ & =\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_i-v_j-k{)}^2\\ & =\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_i-v_j{)}^2+k^2-2k(v_i-v_j)\\ & =k^2+\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_i^2+v_j^2-2v_i{v}_j)-2k{v}_i+2k{v}_j\\ & =-k^2+\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_i^2-2k{v}_i+k^2)+(v_j^2+2k{v}_j+k^2)-2v_i{v}_j\\ & =-k^2+\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_i-k{)}^2+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j\\ & =v_i^2-2k{v}_i+\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j\end{array}$$

考虑最终的柿子

$$d{p}_i=v_i^2-2k{v}_i+\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j$$

考虑

$$\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j$$

你发现 $v_i{v}_j$ 这样的形式, 考虑斜率优化
先不管 $v_i^2-2k{v}_i$ , 我们写出柿子

$$d{p}_i=\underset{j\in [0,i]}{min}d{p}_j+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j$$

拆掉 $min$

$$d{p}_i=d{p}_j+(v_j+k{)}^2-2v_i{v}_j$$

$$\Downarrow$$

$$d{p}_j+(v_j+k{)}^2=2v_i{v}_j-d{p}_i$$

套路的, 令 $x=v_j,y=d{p}_j+(v_j+k{)}^2,k=2v_i,b=-d{p}_i$
柿子转化为

$$y=kx+b$$

考虑其性质满足 $k,x$ 单调递增, 我们简单的运用斜率优化, 使得 $b$ 最大

$${d{p}_i}_{min}=-b_{max}+v_i^2-2k{v}_i$$

考虑实现,
由于 $k,x$ 的单增, 我们考虑使用单调队列维护上凸包
单调队列维护点即可

实现

框架#

直接按照上述内容实现即可

代码#

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MAXN = 5e4 + 20;

int n, K;
int C[MAXN];

int dp[MAXN]; // 状态
int pre[MAXN], v[MAXN]; // 前缀和及其导出
namespace slope {
    int X(int a) { return v[a]; }
    int Y(int a) { return dp[a] + (v[a] + K) * (v[a] + K); }
    int slope_up(int a, int b) { return Y(b) - Y(a); }
    int slope_down(int a, int b) { return X(b) - X(a); }
} using namespace slope;

/*维护下凸包的单调队列*/
struct monoqueue {
    std::deque<int> q;
    
    bool checktail(int x) {
        return slope_up(x, q.back()) * slope_down(q.back(), q.at(q.size() - 2)) <= slope_up(q.back(), q.at(q.size() - 2)) * slope_down(x, q.back());
    }

    /*找到当前斜率下最优的情况*/
    int get(int k) {
        /*弹出不满足下凸包性质的点*/ while (q.size() >= 2 && slope_up(q.front(), q.at(1)) <= k * slope_down(q.front(), q.at(1))) q.pop_front();
        return q.front();
    }

    /*插入当前点*/
    void insert(int x) {
        /*弹出不满足下凸包性质的点*/ while (q.size() >= 2 && checktail(x)) q.pop_back();
        q.push_back(x);
    }
} mq;

signed main()
{
    scanf("%lld %lld", &n, &K); K++;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &C[i]), pre[i] = pre[i - 1] + C[i], v[i] = pre[i] + i;

    /*初始化*/
    dp[0] = 0;
    mq.insert(0);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = mq.get(2 * v[i]);
        dp[i] = dp[j] + (i - j + pre[i] - pre[j] - K) * (i - j + pre[i] - pre[j] - K);
        mq.insert(i);
    }
    printf("%lld", dp[n]);

    return 0;
}

总结

常见的 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 状态设计

优化不来可以考虑继续研究柿子

常见的斜率优化, 拆柿子能力史诗级提升