[CQOI2011] 放棋子

前言

偶遇重庆题目, 害怕
上午 + 大半个下午浪费了太多时间, 不过好歹也是搞得比较明白, 下午冲一下进度

思路

听过了捏, 忘了捏, 以后还是听了直接补好一点

转化题意

在 $n\times m$ 的矩阵中填上颜色, 其中颜色 $i$ 要填 $c_i$ 个, 要求同一行和同一列不能有异色块, 求有多少种方案满足要求

先考虑朴素计算, 我们可以令 $f_{i,j,p}$ 表示使用了 $i$ 行 $j$ 列, 已经填完了 $p$ 种颜色的方案数
考虑转移

$$f_{i,j,p}\leftarrow \sum _{l=0}^{i-1}\sum _{r=0}^{j-1}{f}_{l,r,p-1}\cdot \text{用 }{c}_i\text{ 个颜色占领 }i-l\text{ 行 }j-r\text{ 列的方案数}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-l}{i-l})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-r}{j-r})$$

考虑 $\text{用 }{c}_i\text{ 个颜色占领 }i-l\text{ 行 }j-r\text{ 列的方案数}$ 怎么算

我们考虑 $g_{i,j,k}$ 表示用 $k$ 个颜色占领 $i-l$ 行, $j-r$ 列的方案数
问题转化为计算 $g$ 数组
再转化一下

对于一个 $i\times j$ 的矩阵, 要求每一行每一列至少要填上一个数, 总共填了 $k$ 个数的方案数

怎么做捏? 好像很典
首先转化成「恰好」类型的问题

对于一个 $i\times j$ 的矩阵, 恰好有 $i$ 行填了颜色, 恰好有 $j$ 列填了颜色, 恰好填了 $k$ 个数的方案数

考虑用「选择」类问题的方式, 逐渐拆开限制
以下都保证恰好填了 $k$ 个颜色
首先令 $f(x,y)$ 表示对于一个 $x\times y$ 的矩阵, 恰好有 $x$ 行填了颜色, 恰好有 $y$ 列填了颜色, 令 $\phi (x,y)$ 表示对于一个 $x\times y$ 的矩阵, 至多有 $x$ 行填了颜色, 恰好有 $y$ 列填了颜色 , 令 $\psi (x,y)$ 表示对于一个 $x\times y$ 的矩阵, 至多有 $x$ 行填了颜色, 至多有 $y$ 列填了颜色

开演
容易发现

$$\begin{array}{r}\psi (x,y)=\sum _{i=0}^y(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{i})\phi (x,i)⟺\phi (x,y)=\sum _{i=0}^y(-1{)}^{y-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{i})\psi (x,i)\\ \phi (x,y)=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})\phi (i,y)⟺f(x,y)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})\phi (i,y)\end{array}$$

更显然的, ${\displaystyle \psi (x,y)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x\times y}{k})}$

为了写代码化简一下

$$\begin{array}{rl}& \phi (x,y)=\sum _{i=0}^y(-1{)}^{y-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{xi}{k})\\ & f(x,y)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})\sum _{j=0}^y(-1{)}^{y-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{ij}{k})\end{array}$$

结束了

总结

一类转移系数需要使用特殊方法解决的题目
注意使用二项式反演之前至少要转化成「恰好」形式

常见的填色 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$

「选择」类问题的特色:

• 限制等价
• 「恰好」转「至多 / 至少」