[ZJOI2016] 小星星

前言

大风天踢了会球, 立竿见影就觉得感冒了, 无敌了, 一会去医务室整点抗病毒

颓了一会好点了()

思路

首先转化题意

给你一张 $n$ 点 $m$ 边的图 $\mathbb{G}$ 和一棵同样由这 $n$ 个点组成的树 $\mathbb{T}$, 求对树上的点有多少中标号方式 $p$, 使得 $\mathrm{\forall }(u,v)\in \mathbb{T},\mathrm{\exists }(p_u,p_v)\in \mathbb{G}$

又是数数, 怎么做呢
你注意到 $n\le 17$ , 明示了状压, 我们考虑往这个方向想

考虑树形 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ , 令 $f_{i,\mathbb{S}}$ 表示 $i$ 的子树中映射了原图中 $\mathbb{S}$ 中的点的方案数, 也就是说这些编号已经被使用
考虑转移, 你发现对于 $f_{i,\mathbb{S}}$ , 我们需要找到 $\mathbb{S}$ 的一些不相交子集, 而且要确定 $\mathrm{\forall }j\in son(i),\mathrm{\exists }(p_i,p_j)\in \mathbb{G}$ , 你发现仅仅靠当前的状态, 不能确定 $\mathrm{\forall }j\in son(i),\mathrm{\exists }(p_i,p_j)\in \mathbb{G}$ 的条件, 所以考虑加一维

令 $f_{i,j,\mathbb{S}}$ 表示对于 $i$ 子树, 将 $i$ 映射到 $j$ , 子树中已经映射的点集为 $\mathbb{S}$ , 可能的方案数
考虑转移, 我们可以通过将子树一个一个插入来转移

$$\mathrm{\forall }u\in son(i),f_{i,j,\mathbb{S}\cup {\mathbb{S}}^{\prime }}\stackrel{\mathrm{\exists }(j,v)\in \mathbb{G},\mathbb{S}\cap {\mathbb{S}}^{\prime }=\varnothing }{⟵}{f}_{u,v,\mathbb{S}}\cdot f_{i,j,{\mathbb{S}}^{\prime }}$$

首先要对这样转移的正确性打个补丁
很容易发现的问题是, 残留了一些非法的状态, 例如 $f_{i,j,\mathbb{S}}$ 这样一个状态, 其子树有可能并没有填充完
很好想到的处理方法是, 对于所有状态, 只有 $|\mathbb{S}|=si{z}_i$ 的才有意义, 对于其他的情况, 用完即弃即可

你发现这样子做的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^3{3}^n)$ , 过不去
科技优化到 $\mathcal{O}(n^4{2}^n)$ ,过不去

只能从本质上进行优化

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看了下 $\mathrm{T}\mathrm{J}$ , 发现新大陆「子集反演」, 直觉告诉我其与「选择」类问题有关联

子集反演的一些基础知识 不在赘述

考虑令 $f(\mathbb{S})$ 表示「至多」选择 $\mathbb{S}$ 中的点集进行编号, $g(\mathbb{S})$ 表示「恰好」选择 $\mathbb{S}$ 中的点集进行编号, 套路转移

一个误区是我们必须确保 $g(\mathbb{S})$ 计算的是至少用一次, 而 $f$ 没有这个要求, 容易发现

$$f(\mathbb{S})=\sum _{\mathbb{T}\subseteq \mathbb{S}}g(\mathbb{T})$$

因为是枚举集合, 所以当然也就没有组合数, 也就当然没有二项式反演的广泛性

余下的都是套路

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我们思考的再深一些, 找一下与「选择」类问题的关联
发现「选择」类问题其实是抛开了「集合」的子集反演, 是更高级的版本, 因为没有集合, 所以带上了组合数

考虑这个题能不能用「选择」类问题处理, 套路的, 令 $g(k)$ 表示「恰好」选择了 $k$ 个编号, $f(k)$ 表示「至多」选择了 $k$ 个编号
容易发现

$$f(k)=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})g(i)⟺g(k)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})f(i)$$

那么 $f(i)$ 怎么计算, 很显然可以枚举集合之后同上处理

最终的答案即为

$$g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

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但是你发现过不去, 你发现

$$f(k)=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})g(i)$$

并不成立, 容易发现只有对于限制等价的问题, 这样做才可以

总结

神秘的转移方式, 拆分集合的新 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$

「子集反演」解决的一类特殊问题, 常常用于优化状态压缩类的问题
注意二项式反演的适用范围, 警钟长鸣