[AHOI2018初中组] 球球的排列

前言

紫题, 启动!

思路

转化题意

对于 $n$ 个物品, 每个物品拥有特征值 $a_i$ , 其编号为 $i$
一个合法的排列定义为 : $\mathrm{\forall }i\in [1,n),a_{p_i}\cdot a_{p_i+1}$ 不是一个完全平方数
求合法排列的数量

这个题听别人讲过, 一如既往地忘掉了

怎么做呢?
看了下 $\mathrm{T}\mathrm{J}$ 赤了 $10$ 分钟的石

考虑根据完全平方数的性质进行一个处理 : 对于 $a$ 数组中的每一个数字, 将其的所有质因数的偶次消掉, 那么对于现在的 $a$ 数组, 只有相等的数对才满足原数对乘起来是一个完全平方数

那么你发现数组变成了一个多重集, 我们要计算的是所有多重集排列中, 满足相邻数字不等的方案数

这个问题其实很典啊, 考虑正难则反算不满足条件的方案数, 令 $f(k)$ 表示「至少」有 $k$ 对相邻且相等的数对的方案数, 然后常见转化秒了
如何计算 $f(k)$ ? 我们考虑「钦定」$k$ 对相邻且相等的数对, 其他的直接乱搞

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然后就不会做了, 然后去 讨论区 问, 然后被金钩爷震撼到了

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与 某篇题解 一样, 我们考虑先用柿子表示
定义 $m$ 为颜色总数, $x_i$ 表示颜色为 $i$ 的元素数量, $y_i$ 表示对于颜色 $i$ , 「钦定」$y_i$ 个相邻对存在
对于一组确定的 $y$ , 方案数为:

$$\frac{(n-\sum _{i=1}^m{y}_i)!}{\prod _{j=1}^m(x_i-y_i)!}\prod _{i=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_i-1}{y_i})\prod _{i=1}^m{x}_i$$

解释一下,

• ${\displaystyle \prod _{i=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_i-1}{y_i})}$ : 你发现把一个相同且相邻的对看做一条无向边, 连一条边相当于把一个点加进一个连通块使得这个图不存在环, 同颜色元素个数为 $x_i$ , 那么最多可以加 $x_i-1$ 条边, 组合数选一下即可, 肯定也是不区分顺序的任意选择

• ${\displaystyle \frac{(n-\sum _{i=1}^m{y}_i)!}{\prod _{j=1}^m(x_i-y_i)!}}$ : 你发现把一个相同且相邻的对看做一条无向边, 连一条边相当于把一个点加进一个连通块使得总的元素数量 $-1$, 所以「钦定」$y_i$ 个相邻且相同的对一定会留下 $x_i-y_i$ 个 $i$ 颜色的元素, 做一个多重集排列即可

• ${\displaystyle \prod _{i=1}^m{x}_i}$ : 比较显然, 对于每种颜色都要区分顺序

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然后你就可以根据这个计算出 $f(k)$ , 从而推出 $g(k)$ 了

具体的, 你可以搞一个 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 做一下就可以了, 复杂度 $\mathrm{\&}$ 证明在 这篇题解 中有提到, 是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的

总结

善于利用特殊性质转化问题
本题中利用了完全平方数的性质, 将其转化成常见的多重集, 奇偶次的特性也是完全平方数常见的考点

不好做的问题, 先推柿子

一类相邻对的问题考虑连边之后在图上理解

$\mathrm{d}\mathrm{p}$ 求 $f$ 其实很常见的 (哎好像不是第一次说这个了)
特别的是一类按照元素种类作为 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 状态而非按照位置的 $\mathrm{d}\mathrm{p}$
从某种意义上来讲我们可以将其理解成一个特殊的推柿子方式

紫题的含金量还是很高的, 比 [BZOJ4665] 小 w 的喜糖 多了整整 $1$ 个转化