Mercenaries

思路

今天时间剩的不多, 还是看看得了
发现听过某个巨佬讲这道题, 可惜忘了

你发现约束条件数 $m$ 很小啊, 容易想到状压, 但这是后事了
先考虑一下有没有什么符合直觉的做法, 你发现他求 $n$ 个元素的子集? 这我写鸡毛啊
算了反正状态不好, 复习一下回寝了
下一次写这个题还要等到考完试补完题, 很蓝的啦

考完复活了

简化题意

有 $n$ 个人和 $m$ 对敌对关系, 每一个人有一个条件区间 $[l_{i}, r_{i}]$
现在要在这 $n$ 个人中选 若干个人 , 定义一个合法的选择 ${S}$ , 当且仅当对于 ${S}$ 中的所有人 $i$ , $l_{i} \leq | S | \leq r_{i}$ , 且 ${S}$ 中所有人互不敌对
求有多少种合法的选择

因为求 $n \leq 3 \times 10^{5}$ 这个的所有子集显然不可能, 考虑有没有什么好的性质可以避开
先考虑互不敌对这个条件, 你发现因为敌对数很少啊, 所以互不敌对的子集其实是很多的, 我们考虑正难则反, 考虑敌对子集
这个是简单的, 我们可以记录满足了哪些敌对状态, 仅仅只有 $2^{20} - 1$ 个状态
知道了满足了那些敌对状态, 那么就知道必须要有哪些人出现, 然后其他人任选

好那么进入正题, 你发现给定「满足敌对状态」, 我们只能「钦定」这些人出现, 也就是说我们只能找到「至少」出现了 $k$ 个敌对状态的方案数, 套路的, 记为 $f (k)$

然后你套路的令 $g (k)$ 为「恰好」出现了 $k$ 个敌对状态的方案数, 然后就计算出来了

需要证明的是, 二项式反演能否在这里使用

我们都知道这个柿子

f (k) = \sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) g (i) ⟺ g (k) = \sum_{i = k}^{n} (- 1)^{i - k} (\binom{i}{k}) f (i)

容易发现的是在这种情况下, $f (k)$ 的表达式仍然正确, 所以仍然可以这样反演

那么

a n s = g (0) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} f (i)

~~说个大家不爱听的, 容斥真王朝了~~

但是你发现什么呢, 我们之前没有考虑 条件区间 这个东西, 但是这个肯定是要加入讨论的, 也就是说, 求 $f (k)$ 的方法还需要讨论

首先确定 $f (k)$ 的意义是什么 : $f (k)$ 表示「钦定」 $k$ 个敌对关系必须成立的满足条件区间的子集方案数
容易发现的是, 对于敌对关系的状态 $S$ , 我们可以「钦定」出那些人必须在选择集合之中, 如果这些人之间不满足条件区间, 那么一定不成立, 否则考虑向外填其他不在敌对关系之中的人, 但是如何确定满足条件区间的要求?

首先我们记敌对关系产生的子集为 $U$ , 那么先找到 $U$ 中
$L = max_{i \in U} l_{i}$ 和 $R = min_{i \in U} r_{i}$ , 最终的子集大小一定要在 $[L, R]$ 之间
我们考虑当前的约束条件有那些 (假设加入的人的点集为 $P$ , 其中 $P \cap U = \emptyset$ ):

$L \leq | U | + | P | \leq R$
$\forall i \in P, l_{i} \leq | U | + | P | \leq r_{i}$

不好处理的是第二个限制, 我们考虑预处理
可以预处理出最终选点个数一定时(即确定 $| U | + | P |$ ) , 可能的选点方案数
你容易发现, 满足 $l_{i} \leq x \leq r_{i}$ 的数的个数是一定的, 我们记为 $t_{x}$
这样我们可以计算 $f (k)$

f (k) = \sum_{| S | = k \to | U |} \sum_{i = L}^{R} (\binom{t_{i} - | U |}{i - | U |})

实现

为了检验思路的正确性, 还是要自己写代码

框架#

首先是 $t$ 数组的计算用差分处理, 然后就是组合数部分要预处理不然会 $T L E$

代码#

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MAXM = 50;
const int MAXVAL = 3e5 + 20;
const int MOD = 998244353;

inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int n, m;

int cf[MAXVAL], l[MAXVAL], r[MAXVAL], cnt[MAXVAL], a[MAXM], b[MAXM];
int fac[MAXVAL], inv[MAXVAL];

int qpow(int x, int e) {
    int ans = 1;
    while (e) {
        if (e & 1) ans = ans * x % MOD;
        x = x * x % MOD; e >>= 1;
    }
    return ans;
}

void init() {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 300000; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    for (int i = 0; i <= 300000; i++) inv[i] = qpow(fac[i], MOD - 2);
}

int sum[MAXVAL][MAXM];
inline int C(int x, int y) {
    if (x < y || x < 0 || y < 0) return 0;
    return fac[x] * inv[y] % MOD * inv[x - y] % MOD;
}

signed main()
{
    n = read(); m = read();
    init();

    /*读入 + 差分处理*/
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        l[i] = read(), r[i] = read();
        cf[l[i]]++; cf[r[i] + 1]--;
    }

    int num = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        num += cf[i]; cnt[i] = num; }
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) a[i] = read(), b[i] = read();

    /*预处理系数*/
    for (int i = 0; i <= 40; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) sum[j][i] = (sum[j - 1][i] + C(cnt[j] - i, j - i)) % MOD;
    
    int ans = 0;
    for (int S = 0; S < (1 << m); S++) {
        int L = 1, R = n;
        std::set<int> st;
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (S >> (j - 1) & 1) {
                st.insert(a[j]), L = std::max(L, l[a[j]]), R = std::min(R, r[a[j]]);
                st.insert(b[j]), L = std::max(L, l[b[j]]), R = std::min(R, r[b[j]]);
            }
        if (L > R) continue;

        int calc = (sum[R][st.size()] - sum[L - 1][st.size()] + MOD) % MOD;
        int cnt1 = __builtin_popcount(S);
        if (cnt1 & 1) ans = (ans - calc + MOD) % MOD;
        else ans = (ans + calc) % MOD;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}