[JSOI2011] 分特产

思路

按照一般逻辑来说这题得自己做了, $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$ 都见完了

转化题意,
对于 $m$ 组物品, 每组物品有 $c_i$ 个, 考虑分配给 $n$ 个人保证每个人至少有一个物品, 求分配方案的总数

首先简单的是不管每个人至少有一个物品, 直接随机分配, 显然的, 总共的可能性是 ${\displaystyle n^{\sum _{i=1}^m{c}_i}}$

这个可以容斥那些人没有物品, 但是你发现不能够状压 (即使能够状压, 也不好做, 因为没法求出「恰好」的方案数) , 那怎么办?

肯定要换实现方式了 (绝对不是因为我看到 $\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{s}$ 使用了二项式反演)

你考虑令 $f(k)$ 表示「至少」有 $k$ 个人没有物品, $g(k)$ 表示「恰好」有 $k$ 个人没有物品

套路的(还是写一遍)

$$f(k)=\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})g(i)⟺g(k)=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})f(i)$$

考虑计算 $f$

容易发现

$$f(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\displaystyle (n-k{)}^{\sum _{i=1}^m{c}_i}}$$

结束了

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完蛋了跟 $\mathrm{T}\mathrm{J}$ 柿子不一样怎么办, 红温了

仔细一想发现上面的柿子 「確有問題」, 显然的会出现一些重复的情况计算, 因为对于单组物品本质不同

所以我们改一下, 用插板法处理

最终的答案为 (常用插板法)

$$f(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\prod _{j=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_j+n-k-1}{n-k-1})$$

总结

善于转化问题

常见套路, 「钦定」意义下, 通过「至少」和「恰好」的转化来简化问题, $f$ 可以用各种方法计算得来

慢慢的理解了这一类问题, 可以做一些简单题了!

相同本质的问题, 一定要考虑清楚组合数学怎么算是对的