The Endspeaker (Easy Version)

算法#

题意没什么可以转化的，已经很明确了。

容易发现当 $k$ 确定且要进行移除前缀操作时，一定要尽可能的使前缀更大不然一定不优。

考虑动态规划，令 $d{p}_i$ 表示移除 $a$ 数组的前 $i$ 项所需的最小总成本。

可以发现 $d{p}_i$ 可以从 $d{p}_j,0\le j<i$ 推出来，令 $k$ 表示最大的 $k$ 使得可以移除 $[j+1,i]$ 这一前缀，如果 $k$ 不存在则跳过这一转移。

但是注意到 $k$ 始终不减，考虑新开一维表示当前的 $k$ ，

$$d{p}_{i,k}=min(d{p}_{j,k^{\prime }}+m-k),0\le j<i,k^{\prime }\le k$$

这个柿子的复杂度是 $\mathcal{O}(n^2{m}^2\log m)$ 的，考虑优化。

手动模拟一下可以发现，$k^{\prime }\le k$ 条件带来了大量的重复计算，事实上，我们完全可以每次仅仅令 $k=k^{\prime }+1\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{k}}^{\prime }$ 。

现在我们的转移柿子变成了，

$$d{p}_{i,k}=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& d{p}_{x,k}+m-k\\ & d{p}_{y,k-1}+m-k\end{array}\end{array}$$

显而易见的，我们需要尽可能的使得 $x,y$ 尽量小，并且满足 $\text{Sum}(x+1,i),\text{Sum}(y+1,i)\le b_k$ ，二分可以处理。

初始化令 $d{p}_{0,1}=0$ ，答案为 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{min}}{dp}_{n,i}}$ ，特别的，当无法转移到答案时，输出 $-1$。

时间复杂度 $\mathcal{O}(nm\log m)$ 。

这里顺手就把 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ 讲一下

注意到如果要统计方案数, 必须要在转移的时候更新区间而非仅仅只更新最优解

我们线段树维护区间修改, 然后统计 $i=n$ 时的选择方案即可

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考虑复习

这里只复习 $\text{Easy Version}$ , 对方程式的一些优化

还是这个转移, 关于推出这个的方式, 其实更好的理解方法是, 分类成是否将 $k$ 增加 $1$

$$d{p}_{i,k}\stackrel{min}{⟵}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& d{p}_{x,k}+m-k,\text{Sum}(x+1,i)\le b_k\\ & d{p}_{y,k-1}+m-k,\text{Sum}(y+1,i)\le b_k\end{array}\end{array}$$

根据定义不难发现, 不妨把 $d{p}_{i,k}$ 的第二维看做一个定值, 那么 $d{p}_k(i)$ 单调不降
更一般的, 对于 ${\displaystyle \phi (i)=\underset{k=1}{\overset{m}{min}}{dp}_{i,k}}$ , 不难发现 $\phi$ 函数单调不降, 但是这个没什么用

所以如果我们找出了 $x,y$ 的取值区间, 相当于找到了转移最值

不难发现, 随着 $i$ 增大, 如果一个 $x$ 对于 $i^{\prime }<i$ 都有 $\text{Sum}(x+1,i^{\prime })>b_k$ , 必有 $\text{Sum}(x+1,i)>b_k$ , 有单调性, 所以简单双指针维护可以做到 $\mathcal{O}(mn)$

代码#

略

总结#

观察题目数据可以大概构想出方程形式，

手动模拟可以找到算法劣在哪里。

这种转移, 考虑每次 $+1$ 处理

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一种当 $dp$ 数组对应的函数单调不降 $($一般是由于定义, 当然也可以自己推导$)$ 的 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$ :
直接通过维护取值区间来维护转移最值

时刻注意单调性