11.20 CW 模拟赛 T3.货物分组

算法#

考虑 $\mathrm{d}\mathrm{p}$

令 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中, 分成 $m$ 组的最小花费
关于转移, 我们有

$$f_{i,j}=min(f_{k,j-1}+j\times \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}(\mathrm{k}+1,\mathrm{i})+max(\mathrm{k}+1,\mathrm{i})-min(\mathrm{k}+1,\mathrm{i}))$$

其中 $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 可以前缀和预处理, $max,min$ 可以 $\mathrm{S}\mathrm{T}$ 表预处理
这样转移是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的, 考虑优化

这里是一个 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$ , 即费用提前计算, 题面中花费 $i\times w_{sum}$ 转化成每一次的花费都是 $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}(\mathrm{i}+1,\mathrm{n})$
将 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 柿子转化成 $d{p}_i=min[d{p}_j+Sum(j+1,n)+max(j+1,i)-min(j+1,i))]$
复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$ , 考虑优化转移

对于 $Sum(j+1,n)$ 是定值, 我们考虑将其提出
方程转化成 $d{p}_i=Sum(j+1,n)+min[d{p}_j+max(j+1,i)-min(j+1,i))]$

考虑令 $g_j=d{p}_j+max(j+1,i)-min(j+1,i))$ , 维护 $g_j$ 最小值

这是可以维护的吗?

考虑线段树维护 $g$ ,

对于每一次更新 $d{p}_i$

我们可以在单调栈中找到每一段区间最大值小于 $a_i$ 最小的 $j$ , 显然的, $j\sim i$ 这一段中, 区间最大值都需要更新
容易发现, 这就是单调栈所维护的基本信息, 本质上是找当前节点左侧第一个比自己大的元素, 用一个单调递减栈即可, 特别的, 对于这两个单调栈, 维护的都是前缀最值

于是我们只需要线段树维护区间最值 and 区间加法

复杂度 $O(n\log n)$ , 常数稍大

代码#

第一次写单调栈维护

代码大致分为几个板块:

• 维护区间最值, 有区间加法功能的线段树
• 单调递减栈, 维护区间最大值小于 $a_i$ 的左端点, 单调递增栈, 维护区间最小值大于 $a_i$ 的左端点

注意单调栈事实上维护的是几段, 每一段线段树上更新的值都不同, 不能一次弄完

这几天状态真的不好, 但这题也是真的搞懂了, 懒得再去打代码和调了

总结#

费用提前计算是一个巧妙的 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}$

注意 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 不能仅仅简单的省略掉一维, 很有可能会导致正确性出现问题, 这个多练练应该可以解决

对于神秘转移式子, 考虑多来几种数据结构维护

单调栈/队列 是常见的数据结构维护

神秘维护, 诗人握持