11.19 CW 模拟赛 T3.又见 LIS

前言#

老登你也知道你又在出 $\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$

算法#

首先我们需要注意到, 本质上和随机了一个 $1\sim n$ 的排列没有任何区别
具体的, 任意一个 $\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$ 数列, 都仅仅是由大小关系推过来的, 并且可以证明, $\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$ 数列相同, 当且仅当大小关系完全相同

注意到这个之后(事实上我注意不到) , 我们可以拿到暴力的 $20\mathrm{\%}$

先考虑全是 $0$ 的情况
注意到 $\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$ 的数列, 必须满足

$$a_1=1,a_i\le \underset{j<i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(a_j+1),a_i\ge 1$$

用 $d{p}_{i,j}$ 表示考虑了前 $i$ 位, 其中 $\underset{k<i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(a_k)=j$ 时可能性数量
转移是显然的 (注意最大值一次只能变化 $1$)

$$d{p}_{i,j}=jd{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j-1}$$

考虑 $a_i$ 被指定的情况
有,

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j},j>a_i$$

$$d{p}_{i,a_i}=d{p}_{i-1,a_i-1}+d{p}_{i-1,a_i}$$

现在我们需要考虑 $a_i=-1$ 的情况
由于这一位不受关注, 我们直接填上最大的可能, 即

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j-1}$$

具体的, 只要填上最大的数, 后面所有的可能都可以被考虑到

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

代码#

略

总结#

一般来说, 可以将约束条件加入 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 柿子方便递推

这个题中, 关键信息是 : 最大值一次变化量最大为 $1$

积累一下, 思路确实非常好, 善于利用 $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$ 推到正解

还是需要多联系 $\mathrm{d}\mathrm{p}$