创世纪

算法#

观察到把每个 $a_i$ 向 $i$ 连边, 形成一个外向基环树森林
问题转化为

在一个基环树上, 选择一个点后, 其儿子节点至少有一个不能选, 求最大选点个数

对于森林中的每一棵基环树
容易想到找环, 对于环上每一点, 问题转化为树上的上述问题
显然是树形 dp
令 $f_{x,0/1}$ 表示以点 $x$ 为根节点, 是否选择 $x$ , 其子树中最大选点个数
有

$$\{\begin{array}{lr}{f}_{x,0}\leftarrow \sum \underset{y\in \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathrm{x})}{max}(f_{y,0},f_{y,1})& \\ f_{x,1}\leftarrow \underset{y\in \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathrm{x})}{max}[f_{x,0}-max(f_{y,0},f_{y,1})+f_{y,0}+1]=\underset{y\in \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathrm{x})}{max}\{f_{x,0}-[max(f_{y,0},f_{y,1})-f_{y,0}]+1\}& \end{array}$$

这是好求的

环上处理#

环上有 $N$ 个点, 每个点有贡献 $W_i=f_i$ , 求选点最大贡献和, 其中, 不能选择相邻的点

令 $d{p}_i$ 表示考虑到 $i$ 点的最大贡献
钦定第一个必选, 按链的方式做一次

$$d{p}_{i\in [3,N-1]}\leftarrow \left(\underset{j\in [1,i-2]}{max}d{p}_j\right)+W_i$$

再钦定第一个不选, 按链的方式做一次

$$d{p}_{i\in [2,N]}\leftarrow \left(\underset{j\in [1,i-2]}{max}d{p}_j\right)+W_i$$

断环处理#

断掉环上一条边, 基环树变成一棵树

考虑解决掉删除这一条边的问题

• 使用这一条边
• 不使用这条边

代码#

略

总结#

基环树 + 常见树上 dp + 环上 dp
基环树一般都是一大堆 树上 / 图上知识串起来

这个树形 dp 算比较典的, 但我最初推出来的还是错的
​注意消除删边影响这一类题, 通常是跑两次
内向树不好处理, 考虑建反向边

注意内外向树的判定