bzoj 4671: 异或图

Description

定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与
G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中.
现在给定 s 个结点数相同的图 G1...s, 设 S = {G1, G2, . . . , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异
或为一个连通图?

Solution

连通性的题目我们可以容斥,这题的容斥系数是斯特林数,大致就是个斯特林反演.
设 \(f[i]\) 表示连通块个数恰好为 \(i\) 的方案数 , \(g[i]\) 表示至少为 \(i\) 的方案数.
那么 \(f[i]=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}*g[j]*s(n,m)\).
\(g[i]=\sum_{j=i}^{n}S(j,i)*f[j]\)
其中 \(S(n,m)\) 为第二类斯特林数 , \(s(n,m)\) 为第一类斯特林数.
我们要求的是 \(f[1]\) , 也就是 \(f[1]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}*s(i,1)*g[i]\)
\(s(i,1)=(i-1)!\) , 于是有\(f[1]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}*(i-1)!*g[i]\).
现在就是要求 \(g[i]\) , 我们可以 \(O(bell(n))\) 的枚举划分 , 再考虑方案数.
首先属于两个集合的边一定不能出现 , 而在同一集合的随意.
于是可以列出边和图的对应方程 , 现在就是要求有多少张图是自由元.
用高斯消元或者线性基求出来就行了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=110;
bitset<N>a[65],b[65],t;
int n,s,m,c[N],Fac[N];char T[N];ll ans=0,bin[N];
inline void solve(int S){
	int cnt=0,o=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(c[i]!=c[j])t.set(cnt++);
			else t.reset(cnt++);
	for(int i=1;i<=s;i++)a[i]=b[i]&t;
	for(int i=1,k=0;i<=s && k<m;){
		if(!a[i][k]){
			for(int j=i+1;j<=s;j++)
				if(a[j][k]){swap(a[i],a[j]);break;}
		}
		if(!a[i][k]){++k;continue;}
		++o;
		for(int j=i+1;j<=s;j++)if(a[j][k])a[j]^=a[i];
		++i,++k;
	}
	ans+=(S&1?1:-1)*Fac[S-1]*bin[s-o];
}
inline void dfs(int x,int k){
	if(x==n+1){solve(k);return ;}
	for(int i=1;i<=k;i++)c[x]=i,dfs(x+1,k);
	c[x]=k+1,dfs(x+1,k+1);
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  cin>>s;
  for(int i=1;i<=s;i++){
	  scanf("%s",T);m=strlen(T);
	  for(int j=0;j<m;j++)b[i][j]=T[j]-'0';
  }
  for(n=1;n<=10;n++)if(n*(n-1)/2==m)break;
  Fac[0]=bin[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)Fac[i]=Fac[i-1]*i;
  for(int i=1;i<=s;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  dfs(1,0);
  cout<<ans;
  return 0;
}