bzoj 3329: Xorequ

Description

Solution

移项: \(X\) \(xor\) \(2X=3X\)
因为 \(X+2X=3X\), 所以 \(X\) 和 \(2X\) 相同位置不能同时为\(1\),也就是说 \(X\) 的相邻两位不能同为\(1\)
数位DP解决即可,设 \(f[i][0/1][0/1]\) 表示前 \(i\) 位,该位是 \(0/1\) ,是否处于危险态的方案数

对于第二问:
由于 \(n\) 的二进制只有一位,所以上述DP不再需要记危险态这一维
用矩阵快速幂优化转移即可,但是据说答案也可以是斐波那契数列,这样写不是更舒服么....

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll f[105][2][2],n;
inline void add(ll &x,ll y){x+=y;}
void solo(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	int lim=0;
	for(int i=0;i<=60;i++)if((n>>i)&1)lim=i;
	f[lim][1][0]=1;f[lim][0][1]=1;
	for(int i=lim;i>=1;i--){
		for(int j=0;j<2;j++)
			add(f[i-1][j][1],f[i][1][1]*(j!=1)+f[i][0][1]);
		for(int j=0;j<=((n>>(i-1))&1);j++){
			bool t=j<((n>>(i-1))&1);
			add(f[i-1][j][t],f[i][1][0]*(j!=1)+f[i][0][0]);
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<2;i++)
		for(int j=0;j<2;j++)
			add(ans,f[0][i][j]);
	printf("%lld\n",ans-1);
}
struct mat{
	int a[3][3];
	mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
	mat operator *(const mat &p)const{
		mat ret;
		for(int i=1;i<=2;i++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				for(int k=1;k<=2;k++)
					ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+1ll*a[i][k]*p.a[k][j]%mod)%mod;
		return ret;
	}
};
void solve(ll k){
	if(k==-1){puts("2");return ;}
	mat A,B;
	A.a[1][1]=3;A.a[1][2]=2;
	B.a[1][1]=B.a[1][2]=B.a[2][1]=1;
	while(k){
		if(k&1)A=A*B;
		B=B*B;k>>=1;
	}
	printf("%d\n",A.a[1][1]);
}
void work(){
	scanf("%lld",&n);
	solo();solve(n-2);
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int T;cin>>T;
  while(T--)work();
  return 0;
}