bzoj 3142: [Hnoi2013]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Solution

转化为差分数组,假设有一个序列,设它的差分数组为\(a\)
因为有 \(M*(K-1)<N\) 这个很强的限制
所以每一个数的出现次数都是相同的,且互不影响
对于每一个差分数组,一旦确定,那么初值就有 \(N-\sum_{i=1}^{K-1}a[i]\)
一共有 \(M^{K-1}\) 个差分数组,把式子拆开就有:
\(N*M^{K-1}-\sum\sum_{i=1}^{K-1}a[i]\)
因为不同的数相互独立,所以单独考虑贡献即可
一个数可以出现在 \(K-1\) 个位置上,其他位置可以随便选,所以在该位置上的方案数为 \(M^{K-2}\)
所以后半部分的答案为:\(M^{K-2}*(K-1)*\sum_{i=1}^{M}i\) ,求和可以用等差数列求和公式算出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k,mod;
ll qm(ll x,ll k){
	ll sum=1;
	while(k){
		if(k&1)sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;k>>=1;
	}
	return sum;
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  cin>>n>>k>>m>>mod;n%=mod;
  ll ans=(n*qm(m,k-1)%mod-(m*(m+1)>>1)%mod*(k-1)%mod*qm(m,k-2))%mod;
  if(ans<0)ans+=mod;
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}