bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较

Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号”<“、”>“和”=“表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：

如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x”质量优于“y，x>y 表示图片 x”质量差于“y，x=y表示图片 x和 y”质量相同“；

也就是说，这种上下文中，”<“、”>“、”=“分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：
（1）x < y等价于 y > x。
（2）若 x < y 且y = z，则x < z。
（3）若x < y且 x = z，则 z < y。
（4）x=y等价于 y=x。
（5）若x=y且 y=z，则x=z。
实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如”x1 R1 x2 R2 x3 R3 ...xN-1 RN-1 xN“的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,...,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，”合法“是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。
例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断”3 > 1，3 = 2“冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断”2 = 1，3 < 2“ 不冲突；因此给定主观判断”3>1，3=2“时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi < Xi ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。
现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。
我们规定：如果质量序列中出现”x = y“，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Solution

想复杂了,这题是无序的,当成有序的做了
首先这是个树形DP的模型,先建树,发现存在环就是不合法的
然后等号连接的两个可以看作一个,因为无序所以可以直接丢掉
考虑树形DP:
发现这是一个合并的过程:两个序列A,B需要合并成一个序列,并且顺序不能改变
由于"="存在,并不是所有位置都可以插,如果知道了"<"的数量就知道了可以插的位置的数量
但是这样有些复杂(太菜了,调不出来)
发现可以当成块做,把"="连接的看成一个块
每一次合并就需要枚举合并完之后产生了几个块,然后先合并,再把剩下的放进去
如果设 \(f[x][j]\) 表示 \(x\) 的子树内,已经合出了 \(j\) 个块的方案数
\(f[x][i]=\sum_{j=1}^{size[x]}\sum_{k=1}^{size[u]}f[x][i]*f[u][k]*C(i,k)*C(k-(i-j),j)\)
表示先从A中选出 \(k\) 个去占掉 \(k\) 个位置,剩下的位置由B填,没有用来填的按顺序合并到A中去
然后发现森林可以把我hack掉,但是官方数据仿佛没有?
似乎只需要建个根就可以了,不想改了
复杂度\(O(n^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int n,m,fa[N],head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],num=0;bool vis[N];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void link(int x,int y){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;}
int f[N][N],g[N],c[N][N],in[N],dp[N];bool d[N],flag=0;
inline void dfs(int x){
  vis[x]=1;f[x][1]=1;g[x]=1;
  for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
    int u=to[i];
    dfs(u);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int j=g[x];j>=1;j--)
     for(int k=1;k<=g[u];k++)
       for(int l=j>k?j:k;l<=j+k;l++)
        dp[l]=(dp[l]+1ll*f[x][j]*f[u][k]%mod*c[l-1][j-1]%mod*c[j-1][k-(l-j)])%mod;
    g[x]+=g[u];
    for(int j=0;j<=g[x];j++)f[x][j]=dp[j];
  }
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=0;i<=n;i++){
    c[i][0]=1;
    for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
  }
  int x,y;char s[3];
  for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
  for(int i=1;i<=m;i++){
    scanf("%d%s%d",&x,s,&y);
    x=find(x);y=find(y);
    if(s[0]=='=')fa[y]=x;
    else link(x,y),in[y]++;
  }
  int ans=1,tot=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    x=find(i);
    if(vis[x] || in[x])continue;
    dfs(x);tot=0;flag=1;
    for(int j=1;j<=n;j++)tot=(tot+f[x][j])%mod;
    ans=1ll*ans*tot%mod;
  }
  cout<<ans*flag<<endl;
  return 0;
}