bzoj 1492: [NOI2007]货币兑换Cash

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：


注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。

solution

正解：CDQ+斜率优化DP
DP基于一个贪心思想：如果要买入或者卖出，一定是买完或卖完，所以当天所持有的A,B劵的数量已经确定了，设为 \(x[i],y[i]\)
\(y[i]=f[i]/(a[i]*rate[i]+b[i]),x[i]=y[i]*rate[i]\)

\(f[i]=max(f[i],a[i]*x[j]+b[i]*y[j])\)
变形 \(y[j]=-a[i]/b[i]*x[j]+f[i]/b[i]\)
那么就变成了一条直线，要使得\(f[i]\)大，就得让截距尽量大，维护上凸壳即可，答案一定是在斜率为\(-a[i]/b[i]\)的直线与凸包相切时，按斜率排序，单调指针扫描即可

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;
const double inf=2e8,eps=1e-7;
int n;double f[N],rate[N],a[N],b[N];
struct node{
	double k;int id;
}q[N];
bool compid(node i,node j){return i.id<j.id;}
bool compk(node i,node j){return i.k>j.k;}
struct Point{double x,y;}p[N];
bool comp(Point i,Point j){
	if(i.x!=j.x)return i.x<j.x;
	return i.y<j.y;
}
int st[N],top=0;
inline double k(int i,int j){
	if(fabs(p[i].x-p[j].x)<eps)return -inf;
	return (p[i].y-p[j].y)/(p[i].x-p[j].x);
}
inline void solve(int l,int r){
	if(l==r){
		f[l]=Max(f[l],f[l-1]);
		p[l].y=f[l]/(a[l]*rate[l]+b[l]);
		p[l].x=p[l].y*rate[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	sort(q+l,q+r+1,compid);
	solve(l,mid);
	sort(q+mid+1,q+r+1,compk);
	top=0;
	for(RG int i=l;i<=mid;i++){
		while(top>=2 && k(i,st[top])>k(st[top],st[top-1]))top--;
		st[++top]=i;
	}
	int j=1;
	for(RG int i=mid+1;i<=r;i++){
		while(j<top && q[i].k<k(st[j],st[j+1]))j++;
		f[q[i].id]=max(f[q[i].id],
		p[st[j]].x*a[q[i].id]+p[st[j]].y*b[q[i].id]);
	}
	solve(mid+1,r);
	sort(p+l,p+r+1,comp);
}
void work()
{
	scanf("%d%lfd",&n,&f[0]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&rate[i]);
		q[i].k=-a[i]/b[i];
		q[i].id=i;
	}
	solve(1,n);
	printf("%.3lf\n",f[n]);
}

int main()
{
	work();
	return 0;
}