bzoj 1485: [HNOI2009]有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};
(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n;
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

solution

我们转化问题为依次填数，每一次选择奇数位和偶数位填，并且奇数位的个数要大于偶数位的个数.
设向右走代表填偶数位，向上走代表填奇数位，那么其实可以转化为从(0,0)走到(n,n)不经过对角线的方案数
实质就是catalan数，为 \(C(2n,n)/(n+1)\)
注意模数不是质数，我们分解质因数后将质因子乘起来即可

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2000005;
int n,prime[N],num=0,vis[N],t[N],P,lim;
void priwork(){
   for(int i=2;i<=lim;i++){
      if(!vis[i])prime[++num]=i,vis[i]=i;
      for(int j=1;j<=num && prime[j]*i<=lim;j++){
         vis[i*prime[j]]=prime[j];
         if(i%prime[j]==0)break;
      }
   }
}
void work()
{
   scanf("%d%d",&n,&P);
   lim=n<<1;
   priwork();
   for(int i=n+2;i<=lim;i++){
      int j=i;
      while(j>1)t[vis[j]]++,j/=vis[j];
   }
   for(int i=2;i<=n;i++){
      int j=i;
      while(j>1)t[vis[j]]--,j/=vis[j];
   }
   ll ans=1;
   for(int i=2;i<=lim;i++)
      for(int j=1;j<=t[i];j++)
         ans*=i,ans%=P;
   printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
	work();
	return 0;
}