bzoj 2734: [HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n<=100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。

输入输出格式

输入格式:

 

只有一行,其中有一个正整数 n,30%的数据满足 n<=20。

 

输出格式:

 

仅包含一个正整数,表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

 

输入输出样例

输入样例#1:
4
输出样例#1:
8
 
【样例解释】 
 
有8 个集合满足要求,分别是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。


题解:
这题很有意思,首先你得想到画出所有的倍数表,然后再发现规律......
如:
1 3 9
2 6 18
4 12 36
8 24 72
16 48 144
32 96 288

大概是这样横着是乘三,竖着乘二
这样画出来就发现题目要求的就是所选的数不能相邻......且行列都是log的所以可以直接状压dp
设f[i][j] 表示前i行,第j行状态为j 那么判断一下直接转移就是了
注意状压的要是乘三的,状态比乘二的少很多.
做到这样发现这个矩阵并没有包括所有的数字
所以还需要找到一个没出现的数继续构造矩阵并dp统计
如没出现的7
7 21 63.....
14 42 126...
继续构造即可
最后答案统计时相乘即可
 1 #include <algorithm>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #define RG register
 8 #define il inline
 9 using namespace std;
10 typedef long long ll;
11 const int N=1<<12,M=100005,mod=1000000001;
12 int f[25][N],lim,sz[N];
13 bool vis[M];
14 il int deal(int sta){
15     int n=0,s=sta,t=sta;
16     for(int i=1;i<=20;i++){
17         if(s>lim){
18             n=i-1;
19             break;
20         }
21         vis[s]=true;t=s;
22         sz[i]=0;
23         for(int j=1;j<=15;j++){
24             if(t>lim)break;
25             vis[t]=true;
26             sz[i]++;
27             t=(t<<1)+t;
28         }
29         s<<=1;
30     }
31     f[0][0]=1;
32     for(int i=1;i<=n;i++){
33         int tot=(1<<sz[i])-1;
34         for(RG int j=0;j<=tot;j++){
35             if((j<<1)&j)continue;
36             int tmp=(1<<sz[i-1])-1;
37             f[i][j]=0;
38             for(RG int k=0;k<=tmp;k++){
39                 if((k<<1)&k)continue;
40                 if(j&k)continue;
41                 f[i][j]+=f[i-1][k];
42                 if(f[i][j]>=mod)f[i][j]-=mod;
43             }
44         }
45     }
46     int tot=(1<<sz[n])-1,ret=0;
47     for(RG int j=0;j<=tot;j++){
48         if(j&(j<<1))continue;
49         ret+=f[n][j];if(ret>=mod)ret-=mod;
50     }
51     return ret;
52 }
53 void work()
54 {
55     scanf("%d",&lim);
56     ll ans=1;
57     for(int i=1;i<=lim;i++){
58         if(!vis[i])
59             ans*=deal(i),ans%=mod;
60     }
61     printf("%lld\n",ans);
62 }
63 
64 int main()
65 {
66     work();
67     return 0;
68 }

 

 
posted @ 2017-08-17 17:05  PIPIBoss  阅读(209)  评论(0编辑  收藏  举报