bzoj 2302: [HAOI2011]Problem c

Description

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

Output

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

Sample Input

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

Sample Output

YES 4

NO

HINT

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n   且保证pi互不相同。

 

题解：

这题状态设计的很巧妙，不是我这种蒟蒻想得出的.....

在我看来：一个未填的位置i可以对答案的贡献是到上一个未填位置j的距离i-j

但是好像并不能转移，只能搜索剪枝.

然而正解：

正解基于思想：对于编号小于等于i的至少为i个，否则不合法

这就是状态的巧妙之处.

定义f[i][j] 为已经填了前i个编号，有j个人编号小于等于i的方案数

这就很好转移了：

定义 cnt[i] 为编号必须i的人数的个数 ，sum[i]为cnt的前缀和 （sum[0]=n-m 表示不确定的人）

那么 f[i][j]=sigma(f[i-1][j-k]*C(sum[i]-k+j-cnt[i],k-cnt[i]))

这是什么意思呢？

对于f[i][j] 我们肯定要从i-1转移来，枚举新增的人k 加入到i这个位置，但不一定编号ai为i.

所以我们这个位置可以新增的数量至少为cnt[i],所以我们就新增了k-cnt[i] ,相当于取这么多个

然后总体是sum[i](总人数)-cnt[i](已经确定的)-(j-k)(之前确定的人数)  即为当前的总人数

所以方案数乘上C(sum[i]-k+j-cnt[i],k-cnt[i])

 

一点启发：

在人没有明显主次区别的时候 , 可以不必仅限于设置序列的前i个这样的状态.

 

 

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=305;
int sum[N],c[N][N],cnt[N],f[N][N];
void work()
{
    int n,m,mod;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(register int i=0;i<=n+1;i++)sum[i]=cnt[i]=0;
    for(int i=1,p1,q1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&p1,&q1);
        cnt[q1]++;
    }
    sum[0]=n-m;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];
        if(sum[i]<i){
            puts("NO");
            return ;
        }
    }
    c[0][0]=1;
  for(register int i=1;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;c[i][1]=(i%mod);c[i][i]=1;
        for(register int j=2;j<n;j++){
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            c[i][j]%=mod;
        }
    }
    f[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        for(register int j=i;j<=sum[i];j++){
            for(register int k=cnt[i];j-k>=i-1;k++){
                f[i][j]+=((ll)f[i-1][j-k]*c[sum[i]-(j-k)-cnt[i]][k-cnt[i]])%mod;
                f[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    printf("YES %d\n",f[n][n]);
}
int main()
{
    int T;cin>>T;
    while(T--)
        work();
    return 0;
}