数论：px+py 不能表示的最大数为pq-p-q的证明

对于互质的两个数p，q，px+py 不能表示的最大数为pq-p-q.

 

证明：

先证:pq-p-q不能被px+py表示.

假设pq-p-q可以被px+py表示

那么 px+py=pq-p-q

     p(x+1)+q(y+1)=pq

  -> q|x+1  p|y+1

    很明显x+1>=q

    p(x+1)>=pq 矛盾

所以pq-p-q不能被px+py表示.

 

再证：大于pq-p-q的数一定可以用px+qy表示(x>=0 y>=0)

(p-1)(q-1)=pq-p-q+1

对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)

gcd(p,q)=1

对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z

不妨设a>0>b,显然a>0

那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p

那么有a1*p+b1*q=z.

如果a1>q，可以继续以得到

Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p

pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p

对于n>pq-q-p

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

r<z<min{p,q}

那么取A,B

Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p

不妨设A>0

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq

=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}

其中(A-1),(B+q-1)>=0

那么无论min{p,q}是p还是q，都有

对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy