【山东省选2008】郁闷的小J 平衡树Treap
小J是国家图书馆的一位图书管理员，他的工作是管理一个巨大的书架。虽然他很能吃苦耐劳，但是由于这个书架十分巨大，所以他的工作效率总是很低，以致他面临着被解雇的危险，这也正是他所郁闷的。具体说来，书架由N个书位组成，编号从1到N。每个书位放着一本书，每本书有一个特定的编码。
小J的工作有两类：
1. 图书馆经常购置新书，而书架任意时刻都是满的，所以只得将某位置的书拿掉并换成新购的书。
2. 小J需要回答顾客的查询，顾客会询问某一段连续的书位中某一特定编码的书有多少本。
例如，共5个书位，开始时书位上的书编码为1，2，3，4，5
一位顾客询问书位1到书位3中编码为“2”的书共多少本，得到的回答为：1
一位顾客询问书位1到书位3中编码为“1”的书共多少本，得到的回答为：1
此时，图书馆购进一本编码为“1”的书，并将它放到2号书位。
一位顾客询问书位1到书位3中编码为“2”的书共多少本，得到的回答为：0
一位顾客询问书位1到书位3中编码为“1”的书共多少本，得到的回答为：2
……
你的任务是写一个程序来回答每个顾客的询问。
输入
第一行两个整数N，M，表示一共N个书位，M个操作。
接下来一行共N个整数数A1,A2…AN，Ai表示开始时位置i上的书的编码。
接下来M行，每行表示一次操作，每行开头一个字符
若字符为‘C’，表示图书馆购进新书，后接两个整数A(1<=A<=N)，P，表示这本书被放在位置A上，以及这本书的编码为P。
若字符为‘Q’，表示一个顾客的查询，后接三个整数A，B，K(1<=A<=B<=N)，表示查询从第A书位到第Ｂ书位（包含Ａ和Ｂ）中编码为Ｋ的书共多少本。
输出
对每一个顾客的查询，输出一个整数，表示顾客所要查询的结果。
样例输入
5 5 1 2 3 4 5 Q 1 3 2 Q 1 3 1 C 2 1 Q 1 3 2 Q 1 3 1
样例输出
1 1 0 2
提示
对于40%的数据，1<=N,M<=5000
对于100%的数据，1<=N,M<=100000
对于100%的数据，所有出现的书的编码为不大于2147483647的正数。
题解：
本弱用的平衡树Treap做法，开始想的维护一个书的编号和所在书柜的平衡树，然后查找时，先在平衡树找到该编号书所在区域，然后爆搜判断是否满足l<=id<=r，ans++。
但发现如果平衡树中相同的编号的书太多就会卡成O（n^2），只拿了82分；
以下是暴力代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstdlib> 6 #include<ctime> 7 using namespace std; 8 const int N=100005; 9 struct node 10 { 11 int x,lev,id; 12 node *child[2]; 13 }a[N*2]; 14 node *pos,*root; 15 void newnode(node *&r,int key,int ids) 16 { 17 r=pos++; 18 r->child[0]=r->child[1]=NULL; 19 r->x=key; 20 r->id=ids; 21 r->lev=rand(); 22 } 23 24 int n; 25 int gi() 26 { 27 int str=0;char ch=getchar(); 28 while(ch>'9' || ch<'0')ch=getchar(); 29 while(ch>='0' && ch<='9')str=str*10+ch-'0',ch=getchar(); 30 return str; 31 } 32 int b[N]; 33 34 void rotate(node *&r,bool t)//0左旋 1右旋 35 { 36 node *y=r->child[!t]; 37 r->child[!t]=y->child[t]; 38 y->child[t]=r; 39 r=y; 40 } 41 void insert(node *&r,int key,int ids) 42 { 43 if(r==NULL){newnode(r,key,ids);return ;} 44 bool t=key>r->x; 45 insert(r->child[t],key,ids); 46 if(r->child[t]->lev<r->lev)rotate(r,!t); 47 } 48 49 void Delet(node *&r,int key,int ids) 50 { 51 if(r==NULL)return ; 52 if(r->x==key && r->id==ids) 53 { 54 if(r->child[0] && r->child[1]) 55 { 56 bool t=r->child[0]->lev<r->child[1]->lev; 57 rotate(r,t); 58 Delet(r->child[t],key,ids); 59 } 60 else 61 { 62 if(r->child[0])r=r->child[0]; 63 else r=r->child[1]; 64 } 65 } 66 else 67 { 68 if(r->x!=key)Delet(r->child[key>r->x],key,ids); 69 else { 70 if(r->child[1])Delet(r->child[1],key,ids); 71 if(r->child[0])Delet(r->child[0],key,ids); 72 } 73 } 74 } 75 76 int find(node *&r,int ls,int rs,int key) 77 { 78 if(r==NULL)return 0; 79 int sum=0; 80 if(r->x==key && r->id>=ls && r->id<=rs)sum++; 81 if(r->x!=key)sum+=find(r->child[r->x<key],ls,rs,key);//先找到相同编号的书所在区域 82 else {//然后爆搜 83 if(r->child[0])sum+=find(r->child[0],ls,rs,key); 84 if(r->child[1])sum+=find(r->child[1],ls,rs,key); 85 } 86 return sum; 87 } 88 89 void check(node *r)//检查的时候用 90 { 91 if(r==NULL)return ; 92 printf("key=%d id=%d ",r->x,r->id); 93 if(r->child[1])printf("right=%d ",r->child[1]->x); 94 if(r->child[0])printf("left=%d ",r->child[0]->x); 95 printf("\n"); 96 check(r->child[0]);check(r->child[1]); 97 } 98 int main() 99 { 100 int m; 101 n=gi();m=gi(); 102 pos=a; 103 for(int i=1;i<=n;i++) 104 { 105 b[i]=gi(); 106 insert(root,b[i],i); 107 } 108 char f;int x,y,z; 109 while(m--) 110 { 111 f=getchar(); 112 while(f!='Q' && f!='C')f=getchar(); 113 if(f=='C')//修改时先删再添加。 114 { 115 x=gi();y=gi(); 116 Delet(root,b[x],x); 117 b[x]=y; 118 insert(root,y,x); 119 } 120 else if(f=='Q') 121 { 122 x=gi();y=gi();z=gi(); 123 printf("%d\n",find(root,x,y,z)); 124 } 125 } 126 return 0; 127 }
然后是正解：离散化+Treap
设询问中C出现的次数为K，只需维护（K+N）个平衡树，用一个*root[N+K]来保存根节点即可实现。
注意是每一种书对应一颗平衡树，平衡树里保存的是在原数组出现的位置（即书柜号）。
然后Q L R X的话，先找到X对应的平衡树，再寻找编号在L和R之间的节点个数即可（可以用小于等于R的个数-小于L的个数）。
C X Y 设读入的数组为a[N]，先在a[x]对应的树中删除编号为x的节点，再在Y对应的树中加入编号为X的节点。
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstdlib> 6 #include<ctime> 7 using namespace std; 8 const int N=100005; 9 struct node 10 { 11 int x,lev,size; 12 node *child[2]; 13 }a[N*2]; 14 struct Ques 15 { 16 int flag,x,y,z; 17 }q[N]; 18 int qm=0; 19 node *pos,*root[N]; 20 int s[N*2]; 21 void newnode(node *&r,int key) 22 { 23 r=pos++; 24 r->child[0]=r->child[1]=NULL; 25 r->x=key; 26 r->size=1; 27 r->lev=rand(); 28 } 29 void updata(node *&r) 30 { 31 if(r) 32 r->size=(r->child[0]?r->child[0]->size:0)+(r->child[1]?r->child[1]->size:0)+1; 33 } 34 int n; 35 int gi() 36 { 37 int str=0;char ch=getchar(); 38 while(ch>'9' || ch<'0')ch=getchar(); 39 while(ch>='0' && ch<='9')str=str*10+ch-'0',ch=getchar(); 40 return str; 41 } 42 int b[N]; 43 44 void rotate(node *&r,bool t)//0左旋 1右旋 45 { 46 node *y=r->child[!t]; 47 r->child[!t]=y->child[t]; 48 y->child[t]=r; 49 updata(r); 50 r=y; 51 updata(r); 52 } 53 void insert(node *&r,int key) 54 { 55 if(r==NULL){newnode(r,key);return ;} 56 bool t=key>r->x; 57 insert(r->child[t],key); 58 if(r->child[t]->lev<r->lev)rotate(r,!t); 59 updata(r); 60 } 61 62 void Delet(node *&r,int key) 63 { 64 if(r==NULL)return ; 65 if(r->x==key) 66 { 67 if(r->child[0] && r->child[1]) 68 { 69 bool t=r->child[0]->lev<r->child[1]->lev; 70 rotate(r,t); 71 Delet(r->child[t],key); 72 } 73 else 74 { 75 if(r->child[0])r=r->child[0]; 76 else r=r->child[1]; 77 } 78 } 79 else Delet(r->child[key>r->x],key); 80 updata(r); 81 } 82 83 int find(node *&r,int key) 84 { 85 if(r==NULL)return 0; 86 int sum=0; 87 if(r->x<=key){ 88 if(r->child[0])sum+=r->child[0]->size; 89 sum++; 90 } 91 sum+=find(r->child[key>=r->x],key); 92 return sum; 93 } 94 95 int py[N*2],bel[N]; 96 int ny=0; 97 int midit(int x)//二分离散化以后该书对应的新编号 98 { 99 int mid,l=1,r=ny,ans; 100 while(l<=r) 101 { 102 mid=(l+r)>>1; 103 if(py[mid]<=x)ans=mid,l=mid+1; 104 else r=mid-1; 105 } 106 return ans; 107 } 108 109 void check(node *r)//检查时用的，可以忽略 110 { 111 if(r==NULL)return ; 112 printf("key=%d size=%d ",r->x,r->size); 113 if(r->child[1])printf("right=%d ",r->child[1]->x); 114 if(r->child[0])printf("left=%d ",r->child[0]->x); 115 printf("\n"); 116 check(r->child[0]);check(r->child[1]); 117 } 118 119 int main() 120 { 121 int m; 122 n=gi();m=gi(); 123 pos=a; 124 for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=b[i]=gi(); 125 char f;int num=n; 126 for(int i=1;i<=m;i++)//现将数据全部读入，再编号 离散化。 127 { 128 f=getchar(); 129 while(f!='Q' && f!='C')f=getchar(); 130 if(f=='C') 131 { 132 q[i].x=gi();q[i].y=gi(); 133 s[++num]=q[i].y; 134 } 135 if(f=='Q') 136 { 137 q[i].x=gi();q[i].y=gi();q[i].z=gi(); 138 q[i].flag=1; 139 } 140 } 141 sort(s+1,s+num+1); //从小到大排序，方便编号 142 for(int i=1;i<=num;i++)if(s[i]!=s[i+1])py[++ny]=s[i];//去重 该操作之后原数组对应的新编号就是py数组的下标。 143 int tmp; 144 for(int i=1;i<=n;i++){ 145 tmp=midit(b[i]); 146 bel[i]=tmp;//Bel为在书柜i位置的书对应的平衡树root[]中的下标。 147 insert(root[tmp],i); 148 } 149 for(int i=1;i<=m;i++) 150 { 151 if(!q[i].flag) 152 { 153 tmp=midit(q[i].y); 154 Delet(root[bel[q[i].x]],q[i].x); 155 bel[q[i].x]=tmp; 156 insert(root[tmp],q[i].x); 157 } 158 else 159 { 160 tmp=midit(q[i].z); 161 printf("%d\n",find(root[tmp],q[i].y)-find(root[tmp],q[i].x-1)); 162 } 163 } 164 return 0; 165 }
