「AcWing学习记录」Bellman-Ford

image

AcWing 853. 有边数限制的最短路

原题链接

for n次
for 所有a, b, w
dist[b] = min(dist[b], dist[a] + w);(松弛操作)

Bellman-Ford算法证明了循环完之后所有边的距离一定满足
dist[b] <= dist[a] + w(三角不等式)。

当图中存在负权回路时,一般不存在最短路径。
如果负环不在1到n的路径上或存在边数限制,那么就不影响最短路径的求解。

第n - 1次更新的最短路径的边数一定是n - 1,所以第n次如果更新了某条最短路的长度,那么这条最短路上就包含n条边,即包含n + 1个点,由抽屉原理可知,必然存在两个点的编号相同,即必然存在负环(只有负环第n次才会更新)。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

int n, m, k;
int dist[N], backup[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;
}edges[M];

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < k; i ++ ) // 迭代k次后,dist数组表示从1经过不超过k条边到每个点的最短距离
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist); // 串联指在一次迭代中更新多条边,备份dist数组是用来解决串联问题的(保证只用上一次迭代的结果)
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], backup[e.a] + e.w); // 这里的backup[e.a] + e.w是解决串联问题的核心,保证每次只更新一条边
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    bellman_ford();

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible"); // 不写dist[n] == 0x3f3f3f3f 是为了避免出现dist[n] = 0x3f3f3f3f - constant的情况
    else printf("%d\n", dist[n]);

    return 0;
}
posted @ 2023-03-22 20:59  恺雯  阅读(14)  评论(0编辑  收藏  举报