「AcWing学习记录」博弈论

AcWing 891. Nim游戏

定理： Nim博弈先手必胜，当且仅当

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{n}! = 0

问题1：当没有石子可拿的时候异或值为0，即

0 \land 0 \land \dots \land 0 = 0

问题2：当面临异或值不为0的局面时，一定可以从某堆石子中拿走一部分使剩下的石子异或值为0。
设

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{n} = x! = 0

假设x的二进制表示中最高一位1在第k位，那么 $a_{1}$ ~ $a_{n}$ 中必然存在一个数 $a_{i}$ 的第k位是1，且 $a_{i} \land x < a_{i}$ 。
又因为

a_{i} - (a_{i} - (a_{i} \land x)) = a_{i} \land x

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{i} \land x \land a_{i + 1} \land \dots \land a_{n} = x \land x = 0

所以当从第i堆石子中拿走 $a_{i} - (a_{i} \land x)$ 个石子时，可以使剩下的石子异或值为0。
问题3：当面临异或值为0的局面时，如果拿走一部分石子，一定会使剩下的石子异或值不为0。
利用反证法证明，假设当 $a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{n} = 0$ 时，拿走一部分石子，剩下的石子异或值仍为0。
设 $a_{i}$ 为第i堆石子原本的石子数， $a_{i}^{'}$ 为拿走一部分石子后第i堆石子的石子数，则有

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{i} \land a_{i + 1} \land \dots \land a_{n} = 0

a_{1} \land a_{2} \land \dots \land a_{i}^{'} \land a_{i + 1} \land \dots \land a_{n} = 0

将上下等式左右两边异或起来，有 $a_{i} \land a_{i}^{'} = 0$ ，即 $a_{i} = a_{i}^{'}$ ，说明拿走前与拿走后的石子数相等，这与假设不相符，原命题成立。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int res = 0;

    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }

    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}