「matlab学习笔记」MATLAB矩阵处理

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2.1 特殊矩阵

通用性的特殊矩阵

通用特殊矩阵函数	函数解释
zeros函数	产生全0矩阵，即零矩阵
ones函数	产生全1矩阵，即幺矩阵
eye函数	产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵
rand函数	产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵
randn函数	产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

以zeros函数为例，有3中调用格式：

• zeros(m)：产生m×m零矩阵。
• zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
• zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

>> A=zeros(2,3)
A =
  0 0 0
  0 0 0
>> zeros(size(reshape(A,3,2)))
ans =
    0 0
    0 0
    0 0

拓展：
1.如何得到 $[a,b]$ 区间上均匀分布的随机整数
$fix(a+(b-a+1)\ast rand(n))$
$$
2.如何得到均值为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$ 的随机数
$\mu +\sigma \ast randn(n)$

%首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）
>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5));
>> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5);
>> C=eye(5);
>> (A+B)*C==C*A+B*C
ans =
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1

用于专门学科的特殊矩阵

魔方矩阵（Magic Square）

• $n$ 阶魔方阵由 $1,2,3,\dots ,n^2$ 共 $n^2$ 个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各 $n$ 个元素之和都相等。
• $n$ 阶魔方阵每行每列元素的和为 $\frac{(1+2+3+\dots +n^2)}{n}=\frac{(n+n^3)}{2}$。
• $n>2$ 时有很多不同的 $n$ 阶魔方阵，MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。

>> M=magic(3)
M =
  8 1 6
  3 5 7
  4 9 2

%产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和
>> M=magic(8);
>> sum(M(1,:))
ans =
    260
>> sum(M(:,1))
ans =
    260

---

范德蒙（Vandermonde）矩阵
对于向量 $v=[v_1,v_2,\dots ,v_n]$，范得蒙矩阵的一般形式为：

$$V=\left[\begin{array}{ccccc}{v}_1^{n-1}& \cdots & v_1^2& v_1^1& v_1^0\\ v_2^{n-1}& \cdots & v_2^2& v_2^1& v_2^0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ v_n^{n-1}& \cdots & v_n^2& v_n^1& v_n^0\end{array}\right]$$

• 在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范得蒙矩阵。
• 范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，例如，常用的Reed-Solomon编码即以范德蒙矩阵为基础。

>> A=vander(1:5)
A =
    1   1   1   1   1
   16   8   4   2   1
   81  27   9   3   1
  256  64  16   4   1
  625 125  25   5   1

---

希尔伯特（Hilbert）矩阵
n阶希尔伯特矩阵的一般形式为：

$$H=\left[\begin{array}{cccc}1& 1/2& \cdots & 1/n\\ 1/2& 1/3& \cdots & 1/(n+1)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1/n& 1/(n+1)& \cdots & 1/(2n-1)\end{array}\right]$$

• 希尔伯特矩阵的元素为 $H(i,j)=1/(i+j-1)$
• 在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
• 希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大变化。病态程度和矩阵的阶数相关，随着阶数的增加病态越严重。

>> format rat
>> H=hilb(4)
H =
  1   1/2 1/3 1/4
  1/2 1/3 1/4 1/5
  1/3 1/4 1/5 1/6
  1/4 1/5 1/6 1/7

---

伴随矩阵
设多项式 $p(x)$ 为 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$，则多项式的伴随矩阵是：

$$A=\left[\begin{array}{cccccc}-\frac{a_{n-1}}{a_n}& -\frac{a_{n-2}}{a_n}& -\frac{a_{n-3}}{a_n}& \cdots & -\frac{a_1}{a_n}& -\frac{a_0}{a_n}\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]$$

• $p(x)$ 称为 $A$ 的特征多项式，方程 $p(x)=0$ 的根称为 $A$ 的特征值。
• MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中 p 是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，生成多项式 $x^3-2x^2-5x+6$ 的伴随矩阵。
• 可以求出伴随矩阵的特征值，该特征值等于多项式方程的根。

>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A =
  2  5 -6
  1  0  0
  0  1  0

---

证明矩阵A的特征值等于多项式方程的根（大概率有误，如有问题欢迎指正）

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccccc}\lambda +\frac{a_{n-1}}{a_n}& \lambda +\frac{a_{n-2}}{a_n}& \lambda +\frac{a_{n-3}}{a_n}& \cdots & \lambda +\frac{a_1}{a_n}& \lambda +\frac{a_0}{a_n}\\ -1& -\lambda & 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& -\lambda & \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -\lambda & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& -\lambda \end{array}\right|$$

按第n列展开行列式

$$|\lambda E-A|=\frac{a_0}{a_n}+\lambda \left|\begin{array}{cccccc}\lambda +\frac{a_{n-1}}{a_n}& \lambda +\frac{a_{n-2}}{a_n}& \lambda +\frac{a_{n-3}}{a_n}& \cdots & \lambda +\frac{a_2}{a_n}& \lambda +\frac{a_1}{a_n}\\ -1& -\lambda & 0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& -\lambda & \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -\lambda & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& -\lambda \end{array}\right|$$

记 $A_n=|\lambda E-A|$，则有

$$A_n=\frac{a_0}{a_n}+\lambda A_{n-1}=\frac{a_0}{a_n}+\lambda \frac{a_1}{a_n}+\dots +{\lambda }^{n-1}\frac{a_{n-1}}{a_n}+{\lambda }^n$$

即

$$A_n{a}_n=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0$$

对比

$$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$$

又因为 $a_n\ne 0$，所以 $p(x)=0$ 即 $A_n=|\lambda E-A|=0$，得证

---

帕斯卡（Pascal）矩阵

• 根据二项式定理，$(x+y{)}^n$ 展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，这个三角形称为杨辉三角形。
• 把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素即为n阶帕斯卡矩阵。
• 帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即 $P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)$，且 $P(i,1)=1,P(1,j)=1$。
• 函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。

%生成5阶帕斯卡矩阵，验证它的逆矩阵的所有元素也为整数
>> format rat
>> P=pascal(5)
P =
      1   1   1   1   1
      1   2   3   4   5
      1   3   6  10  15
      1   4  10  20  35
      1   5  15  35  70
>> inv(P)
ans =
      5 -10  10  -5   1
    -10  30 -35  19  -4
     10 -35  46 -27   6
     -5  19 -27  17  -4
      1  -4   6  -4   1

2.2 矩阵变换

对角阵

名词	解释
对角阵	只有对角线上有非零元素的矩阵
数量矩阵	对角线上的元素相等的对角矩阵
单位矩阵	对角线上的元素都为1的对角矩阵

（1）提取取矩阵的对角线元素

• diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
• diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

---

（2）构造对角阵

• diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。
• diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

1.对角阵左乘矩阵A，相当于将A的各行元素分别乘以对角阵的对角线元素。
2.对角阵右乘矩阵A，相当于将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素。
记忆方法：将对角阵的位置看作二维数组的维度,在左边相当于行，在右边相当于列。

三角阵

名词	解释
上三角阵	矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵
下三角阵	对角线以上的元素全为零的矩阵

（1）上三角矩阵

• triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
• triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

>> triu(ones(4),-1)
ans =
    1 1 1 1
    1 1 1 1
    0 1 1 1
    0 0 1 1

---

（2）下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

矩阵的转置

• 转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。
• 共轭转置，其运算符是单引号（'），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。

>> A=[1,3;3+4i,1-2i]
A =
  1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
  3.0000 + 4.0000i 1.0000 - 2.0000i
>> A.'
ans =
    1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i
    3.0000 + 0.0000i 1.0000 - 2.0000i
>> A'
ans =
    1.0000 + 0.0000i 3.0000 - 4.0000i
    3.0000 + 0.0000i 1.0000 + 2.0000i

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转${90}^{\circ }$的k倍，当k为1时可省略。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
    1  3  2
   -3  2  1
    4  1  2
>> rot90(A)
ans =
    2  1  2
    3  2  1
    1 -3  4
>> rot90(A,2)
ans =
    2  1  4
    1  2 -3
    2  3  1

矩阵的翻转

对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。

• fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
• flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

注意区分矩阵的转置、共轭转置、旋转和翻转

%验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等
>> A=magic(5);
>> D1=diag(A);
>> sum(D1)
ans =
    65
>> B=flipud(A);
>> D2=diag(B);
>> sum(D2)
ans =
    65

矩阵求逆

• inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

用求逆矩阵的方法解线性方程组

$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=5\\ x+4y+9z=-2\\ x+8y+27z=6\end{array}$$

在线性方程组 $Ax=b$ 两边各左乘 $A^{-1}$，得 $x=A^{-1}b$

>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];
>> b=[5;-2;6];
>> x=inv(A)*b
x =
   23.0000
  -14.5000
    3.6667
>> x=A\b
x =
   23.0000
  -14.5000
    3.6667

2.3 矩阵求值

矩阵的行列式值

det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

>> format rat
>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
   1  3  2
  -3  2  1
   4  1  2
>> det(inv(A))
ans =
    1/11
>> 1/det(A)
ans =
    1/11

矩阵的秩

• 矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
• rank(A)：求矩阵A的秩。

拓展：魔方阵的秩的规律

• 奇数阶魔方阵秩为 $n$，即奇数阶魔方阵是满秩矩阵
• 一重偶数阶魔方阵秩为 $\frac{n}{2}+2$（$n$ 是 $2$ 的倍数，但非 $4$ 的倍数）
• 双重偶数阶魔方阵秩均为 $3$（阶数是 $4$ 的倍数）

%求3~20阶魔方阵的秩
for n=3:20
    r(n)=rank(magic(n));
end
bar(r)
grid on
axis([2,21,0,20])
[3:20;r(3:20)]

矩阵的迹

• 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
• trace(A)：求矩阵A的迹。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
   1  3  2
  -3  2  1
   4  1  2
>> b = trace(A)
b =
  5
>> t = sum(diag(A))
t =
  5

矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

（1）向量的范数

• 向量$1$——范数：向量元素的绝对值之和

$${\Vert \begin{array}{c}V\end{array}\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|v_i|$$

• 向量$2$——范数：向量元素绝对值的平方和的平方根

$${\Vert \begin{array}{c}V\end{array}\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n|v_i{|}^2}$$

• 向量$\mathrm{\infty }$——范数：所有向量元素绝对值中的最大值

$${\Vert \begin{array}{c}V\end{array}\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}\{|v_i|\}$$

向量范数函数	函数解释
norm(V)或norm(V,2)	计算向量V的$2$——范数
norm(V,1)	计算向量V的$1$——范数
norm(V,inf)	计算向量V的$\mathrm{\infty }$——范数

---

（2）矩阵的范数

• 矩阵A的$1$——范数：所有矩阵列元素绝对值之和的最大值

$${\Vert \begin{array}{c}A\end{array}\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{max}\{\sum _{i=1}^m|a_{ij}|\}$$

• 矩阵A的$2$——范数：A'A矩阵的最大特征值的平方根

$${\Vert \begin{array}{c}V\end{array}\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_1}$$

• 矩阵A的$\mathrm{\infty }$——范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值

$${\Vert \begin{array}{c}A\end{array}\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{max}\{\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\}$$

%MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数
%其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同
>> x=[2 0 1;-1 1 0;-3 3 0]
x =
   2  0  1
  -1  1  0
  -3  3  0
>> n = norm(x)
n =
  4.7234
>> n = norm(x,1)
n =
  6

矩阵的条件数

• 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
• 条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

矩阵条件数函数	函数解释
cond(A)或cond(A,2)	计算A的$2$——范数下的条件数
cond(A,1)	计算A的$1$——范数下的条件数
cond(A,inf)	计算A的$\mathrm{\infty }$——范数下的条件数

%求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数
for n=2:10
c(n)=cond(hilb(n));
end
format long
c'

%运行结果
1.0e+13 *
                0
0.000000000001928
0.000000000052406
0.000000001551374
0.000000047660725
0.000001495105864
0.000047536735631
0.001525757554777
0.049315394619572
1.602490962516758

%随着阶数的增加，希尔伯特矩阵的条件数不断增大，矩阵性能变差。

2.4 矩阵的特征值与特征向量

求矩阵的特征值与特征向量

在MATLAB中，计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式有两种：

• E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
• [X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

---

例1 设

$$A=\left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& O_{3\times 2}\\ O_{2\times 3}& S_{2\times 2}\end{array}\right]$$

又设 ${\lambda }_i$ 为 $R$ 的特征值，${\lambda }_j$ 为 $S$ 的特征值，$x_i=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3{)}^{\prime }$ 是 $R$ 对应于 ${\lambda }_i$ 的特征向量，$y_j=({\beta }_1,{\beta }_2{)}^{\prime }$ 是 $S$ 对应于 ${\lambda }_j$ 的特征向量，试验证：

（1）${\lambda }_i$、${\lambda }_j$为 $A$ 的特征值。

（2）$p_i=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,0,0{)}^{\prime }$ 是 $A$ 对应于 ${\lambda }_i$ 的特征向量，$p_j=(0,0,0,{\beta }_1,{\beta }_2{)}^{\prime }$ 是 $A$ 对应于 ${\lambda }_j$ 的特征向量。

R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6];
S=[1,2;2,3];
A=[R,zeros(3,2);zeros(2,3),S];
[X1,d1]=eig(R)
[X2,d2]=eig(S)
[X3,d3]=eig(A)

拓展：特征值的几何意义

设 $A=\left[\begin{array}{cc}3.8& 0.6\\ 0.6& 2.2\end{array}\right]$，其特征向量有 $x_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$，$x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$，对应的特征值分别为 ${\lambda }_1=4$ 和 ${\lambda }_2=2$，令 $y_1=A{x}_1={\lambda }_1{x}_1$，$y_2=A{x}_2={\lambda }_2{x}_2$，我们讨论 $y_1$ 与 $x_1$ ，$y_2$ 与 $x_2$ 之间的关系。

更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧进行拉伸，变成四分之一椭圆。

MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。在特征方向上有Ax等于λx。

---

例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐标，第二行代表纵坐标）。

（1）绘制 M 的图形。

（2）设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0& 1\end{array}\right]$，用 A 对 M 的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。

x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8];
A=[1,0.5;0,1];
y=A*x;
subplot(2,2,1);          %选择1号子图，详见专题四
fill(x(1,:),x(2,:),'r'); %绘制M的图形，并用红色（red）填充
subplot(2,2,2);          %选择2号子图
fill(y(1,:),y(2,:),'r'); %绘制变换后的M图形，并用红色填充

定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。

启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。

2.5 稀疏矩阵

矩阵的存储方式

• 完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储。
• 稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。

注意：采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

稀疏存储方式的产生

（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

• A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
• S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。

---

（2）直接建立稀疏存储矩阵

• sparse(m,n)：生成一个m×n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
• sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

>> A=sparse([1,2,2],[2,1,4],[4,5,-7])
A =
  (2,1)  5
  (1,2)  4
  (2,4) -7
>> B=full(A)
B =
  0  4  0  0
  5  0  0 -7

---

（3）使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵
B=spconvert(A)
其中，A 为一个 $m\times 3$ 或 $m\times 4$ 的矩阵，其每行表示一个非零元素，$m$ 是非零元素的个数。

• A(i,1)表示第i个非零元素所在的行
• A(i,2)表示 第i个非零元素所在的列
• A(i,3)表示第i个非零元素值的实部
• A(i,4)表示第i个非零元素值的虚部

若矩阵的全部元素都是实数，则无须第4列

>> A=[2,2,1;2,1,-1;2,4,3]
A =
  2  2  1
  2  1 -1
  2  4  3
>> B=spconvert(A)
B =
  (2,1) -1
  (2,2)  1
  (2,4)  3

---

（4）单位矩阵的稀疏存储
speye(m,n)返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵。

>> speye(3)
ans =
    (1,1) 1
    (2,2) 1
    (3,3) 1

带状稀疏矩阵的稀疏存储

• 稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
• 带状稀疏矩阵就是一种十分典型的具有规则结构的稀疏矩阵，它是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

带状稀疏矩阵函数	函数解释
[B,d]=spdiags(A)	从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d
A=spdiags(B,d,m,n)	产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m、n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置

>> A =[11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]
A =
  11  0  0 12  0  0
   0 21  0  0 22  0
   0  0 31  0  0 32
  41  0  0 42  0  0
   0 51  0  0 52  0
>> [B,d]=spdiags(A)
B =
   0 11 12
   0 21 22
   0 31 32
  41 42  0
  51 52  0
d =
  -3
   0
   3

%利用带状稀疏矩阵非零对角线元素组成的矩阵B，以及对角线位置组成的向量d，命令执行后产生一个稀疏存储矩阵A
>> A=spdiags(B,d,5,6)
A =
  (1,1) 11
  (4,1) 41
  (2,2) 21
  (5,2) 51
  (3,3) 31
  (1,4) 12
  (4,4) 42
  (2,5) 22
  (5,5) 52
  (3,6) 32

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带状稀疏矩阵小结
利用 A=spdiags(B,d,m,n) 产生带状稀疏矩阵的稀疏存储

其中，m、n 为原带状矩阵的行数与列数，B 为 r×p 矩阵，这里 r=min(m,n)，p 为原带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵 B 的第 i 列即为原带状矩阵的第 i 条非零对角线。

取值方法：

• 若非零对角线上元素个数等于 r，则取全部元素；
• 若非零对角线上元素个数小于 r，则应该用零补足到 r 个元素。

补零原则：

• 若行数 < 列数，则主对角线以下在前面补 0，主对角线以上在后面补 0；
• 当行数 ≥ 列数，则主对角线以下在后面补 0，主对角线以上在前面补 0。

稀疏矩阵的应用实例

求下列三对角线性方程组的解

$$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4& 1\\ & 1& 6& 4\\ & & 2& 6& 2\\ & & & 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\\ 1\\ 5\end{array}\right]$$

>> kf1=[1;1;2;1;0];
>> k0=[2;4;6;6;1];
>> k1=[0;3;1;4;2];
>> B=[kf1,k0,k1];
>> d=[-1;0;1];
>> A=spdiags(B,d,5,5);
>> f=[0;3;2;1;5];
>> x=A\f
x =
  -0.1667
   0.1111
   2.7222
  -3.6111
   8.6111

注意区分稀疏矩阵和稀疏存储矩阵

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