「AcWing学习记录」Huffman树

AcWing 148. 合并果子

原题链接

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。

可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明 15 为最小的体力耗费值。

思路：

1. 最小的两个点，深度一定最深，且可以互为兄弟
2. F(n) = F(n - 1) + a + b

说明：

• 合并果子问题实际上是一个 Huffman 树问题，也称为最优二叉树。
• 为设计出最小的体力耗费值的合并方案，本质上是让该树的带权路径长度达到最小，所以求 n 个叶子节点合并时，权值最小的两个叶子节点，深度一定最深，且可以互为兄弟节点。（由于可以互为兄弟节点，所以可以考虑先让最小的两个点合并）
• F(n) 表示求 n 个叶子节点合并的最小的体力耗费值，F(n - 1) 表示求 n - 1 个叶子节点合并的最小的体力耗费值，a + b 表示求 n 个叶子节点合并时最小的两个点合并所耗费的体力值。
• 需要注意的是 F(n - 1) 不一定能推出 F(n)，这点需要证明。如果 f(n) 表示求 n 个叶子节点合并的一种方案，f(n - 1) 表示求 n - 1 个叶子节点合并的一种方案，那么 f(n) = f(n - 1) + a + b，要让 f(n) = F(n)，则一定有 f(n - 1) = F(n - 1)，命题得证。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > heap;
    while(n--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        heap.push(x);
    }
    int res = 0;
    while(heap.size() > 1)
    {
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        res += a + b;
        heap.push(a + b);
    }

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}