筛素数（常见易懂版）

所谓的素数（质数），就是该数只能被1和他本身整除的数。

暴力写法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
    	if(n%i==0){
    		cout<<"No";
    		return 0;
		}
	} 
	cout<<"Yes";
    return 0;
}

但是，当我们询问1~中所有的素数时候，我们不可能一个一个，会超过所规定的时间。所以，我们可以根据一定的算法来做到高效。

埃式筛法

埃式筛法的原理其实很简单，就是如果一个数它为素数的话，那么它所有以其为倍数的数不是素数。

例如：

我们需要选择从1~25之间的素数

我们第一次筛，筛去2的倍数，即4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24，剩余的数组为2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25（1既不是质数也不是合数）

第二次筛，筛去3的倍数，即是6 9 12 15 18 21 24。剩余数组为2 3 5 7 11 13 15 17 19 23 25

第三次筛，筛去5的倍数，即10 15 20 25。剩余数组为2 3 5 7 11 13 17 19 23

第四次筛，筛去7的倍数，即 14 21。 剩余数组还是2 3 5 7 11 13 17 19 23

第五次筛，筛去11的倍数，即22。剩余数组还是2 3 5 7 11 13 17 19 23

......

所以最终没被晒出的数组为2 3 5 7 11 13 17 19 23

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool vis[1000001];
int sum=0;
void ai(int n){
	memset(vis,1,sizeof(vis));//1表示质数 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==1){
            for(int j=i*2;j<=n;j+=i){
                vis[j]=0;
            }
            sum++;
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    ai(n);
    for(int i=2;i<=n;i++){
    	if(vis[i]==1)
		cout<<i<<" "; 
	} 
    return 0;
}

欧拉筛（线性筛）

上面的埃式筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，无限接近于线性了，但是，我们还可以在此优化。

例如当我们筛掉元素6的时候，我们即从元素2中删去了，又从元素3中筛去了，当元素比较大的时候，会产生很多不必要的步骤。所以，我们可以通过仅用该数的最小质因子来筛出合数以省略这些步骤。

我们先来看一下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool vis[10000001];
int prime[10000001]; 
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++prime[0]]=i;//prime[0]记录素数的个数，并且prime[1~n]记录素数 
		}
			for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++){
				vis[i*prime[j]]=1;//标记为合数 
				if(i%prime[j]==0){
					break;
				} 
			}
	} 
	for(int i=1;i<=prime[0];i++){
		cout<<prime[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

这里的if(i%prime[j]==0)break掉是因为若i%prime[j]不break掉的话，若i%prime[j]==0成立的时候，有i=k*prime[j]，当我们筛到i*prime[j+s](s>=1)的时候，可以替换为k*prime[j]*prime[j+s](s>=1)，则当i=k*prime[j+s](s>=1)，乘上prime[j]的时候，筛掉的仍然是k*prime[j]*prime[j+s](s>=1)，从而造成重复。

例如：我们筛i=8,prime[j]=3的时候，在之后的筛i=12，prime[j]=2的时候会重复。而我们只保留i=12，prime[j]=2的这个例子，因为我们筛掉一个合数是通过它的最小质因子来筛掉的。