欧几里得与扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法

1.简介

欧几里得算法又称辗转相除法，这种算法我们在高中的数学书上都有所了解，这种算法的用途是旨在求两个数的最大公约数(英文缩写为gcd)。

2.算法分析

例如，如果我们要求去寻找12和16的最大公约数，我们可以这样操作：

第一步：16 mod 12 = 4；

第二步：12 mod 4 = 0；

第三步：4 mod 0，这时候b==0的时候，a==4就是我们12和16的最大公约数。

3.代码分析

int gcd(int a,int b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);

}

代码的长度其实很简单，就是判断b是否为0，如果为0，返回a，否则递归寻找。

二、扩展欧几里得算法

1.简介

何为扩展欧几里得算法？扩展欧几里得算法顾名思义就是欧几里得算法的扩展。这个算法旨解决一个问题：求，其中a,b为常数，gcd(a,b)为a,b的最小公倍数 的整数解(可以拥有多个整数解)。

2.算法分析

求解特殊情况：

首先我们要知道裴蜀定理，就是一定会有整数解。

由欧几里得算法可知;......①

若b=0时，则，x=1，令y=0；

若a≠0时，则成立；......②

即......③

将①②③联立得

这样，我们可以用递归的形式来求得x和y的值。

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;

        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
}

求解一般情况：()

由裴蜀定理可知，若有解，则必然满足

令,则我们可以先求的解，然后得到x,y的值

其中x,y都是特解。

而非齐次通解=非齐次的特解+齐次通解则，我们只需要求的通解。

即,带入得到

3.代码分析

例题引入：AcWing 878. 线性同余方程

例题分析：可以化为

即可以化为//因为k仅仅只是个常数，所以可以不变号

这样就是求x和k的整数解的题了。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y=y-a/b*x;
}
long long gcd(long long a,long long b){
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
	long long t;
	cin>>t;
	while(t--){
		long long a,b,m;
		cin>>a>>b>>m;
		long long sum=gcd(a,m);
		if(b%sum!=0){
			cout<<"impossible"<<endl;
		}
		else{
			long long x=0,y=0;
			exgcd(a,m,x,y);
			cout<<x%m*(b/sum)%m<<endl;//直接乘以b/gcd(a,b)即可
		}
	}
	return 0;
}

关于求解最小正整数解的时候，只需要 x=(x%t+t)%t，t=b/gcd(a,b);

同理，y=(y%t+t)%t,t=a/gcd(a,b);