CF1824B

一种不同于官方题解的 $O(n)$ 做法

考虑一个点在什么情况下能作为答案。

发现应当满足这个点为根时，他的每个儿子的字数内点数均不超过 $\frac{k}{2}$。

若 $k$ 为奇数，那么这样的点唯一；否则这样的点将形成一条链（实际上不需要用到这一性质）。

设这个点若干子树大小分别为 $x_1,\cdots,x_m$，我们发现，如果某个子树内的点数超过了 $\frac{k}{2}$，那么这样的子树至多只有一个。下文记 $k=2w$，则 $w=\frac{k}{2}$。

考虑容斥，钦定某个 $x_i$ 中放了超过 $w$ 个，方案数为

$$\sum_{j=w+1}^k\binom{x_i}{j}\binom{n-x_i}{k-j}$$

类似于LNOI2022 盒，考虑其组合意义，将其看作：在一行排列的 $n$ 个盒子中放下 $k$ 个球，要求第 $w+1$ 个球放在第 $x$ 个盒子之前的方案数。枚举第 $w+1$ 个球的位置，有

$$\sum_{j=w+1}^k\binom{x_i}{j}\binom{n-x_i}{k-j}=\sum_{i=1}^{x_i}\binom{i-1}{w}\binom{n-i}{k-w-1}$$

这样我们就可以线性地每个 $x_i=1\cdots n$ 预处理出这个值了。设其为 $f(x_i)$，则该点的答案就是 $\binom{n}{k}-\sum f(x_i)$。总的时间复杂度为 $O(n)$。

https://codeforces.com/contest/1824/submission/205182489