简单理解 Matrix-Tree 定理
首先，我们要知道，一个矩阵的行列式可以使用高斯消元来求。
定义无向图的 Laplace 矩阵：\(L_{i,j}=D_{i,j}-G_{i,j}\)，其中 \(D\) 是度数矩阵，满足 \(i=j\) 时 \(D_{i,i}=deg_i\)，其余时刻 \(D_{i,i}=0\)；\(G\) 是邻接矩阵，\(G_{i,j}\) 表示两点间是否有边（有重边就是边数）。Matrix-Tree 定理就是：
- 无向图的生成树个数就是其 Laplace 矩阵的任何一个 \(L_{i,i}\) 的代数余子式的值。
对于有向图，重新定义 \(D_{i,i}\) 表示 \(i\) 的出度，那么以 \(i\) 为根的根向树形图个数就是 \(L_{i,i}\) 的代数余子式；叶向树形图反过来就行了。
有时候定义生成树的权值是所有边权的乘积，考虑边权为正整数的情形，发现只需要添加若干条重边即可，体现在 \(G\) 上即为直接修改为边权；进一步，边权是任意实数的情形也可以这么做。
有时候定义生成树的权值是所有边权之和，这时我们发现等价于钦定某条边被选中，剩下的边随意的方案数，乘上这条边的权值，之和。发现只需要在每条边 \(i\) 上写一个多项式 \(1+w_ix\)，求出最终得到的“代数余子多项式”（因为最终得到的行列式是一个多项式）的一次项系数即可。
北京集训 2019 那个题是较一般化的情况，不难发现此时只需要求 \(k\) 此项系数。
P6178
板题
P4436
要求每个集合选一条边得到一棵生成树
相当于每个集合至少选一条边，钦定 \(S\) 以内集合不选边做容斥即可，容斥系数为 \((-1)^{|S|}\)。
复杂度 \(O(2^nn^3)\)。
P6624
首先套路反演一波，设 \(W(T)\) 表示生成树 \(T\) 的边权集合，\(\gcd(S)\) 表示 \(S\) 以内所有数的 \(\gcd\)，\(\text{sum}(S)\) 表示 \(S\) 以内所有数之和
相当于保留所有边权为 \(d\) 的倍数的边，求所有生成树的权值和。
在每条边上写个多项式 \(1+w_ix\)，重新定义 \(D\) 表示这个点的邻边上所有多项式之和，\(G\) 类似，求出最终的行列式（这是一个多项式），一次项系数就是所有生成树的权值和。
现在考虑多项式怎么做高斯消元；发现只需要在 \(\bmod x^2\) 意义下做多项式乘法，多项式求逆等等。发现性质相当好，只要常数项不为 \(0\)，多项式就一定存在逆。具体来说有
直接暴力算就行了，复杂度大概是 \(O(n^3\sum d(w_i))\)，不会超过 \(n^4\times \max d(w_i)\le 2\times 10^8\)。
P5296
类似地，我们只需要在 \(\bmod x^k\) 意义下做多项式乘法，多项式求逆。
矩阵树定理的内容实际上是：Laplace 矩阵的任意一个 \(L_{i,i}\) 的代数余子式等于 \(\sum_T\prod_{(u,v)\in T}w(u,v)\)，这个 \(w\) 可以是任意东西，只要他有乘法有的性质就行。
发现这个东西类似于 EGF，他的卷积形式形如
维护 \(\text{e}^{w_ix}\) 的多项式操作即可。复杂度 \(O(n^3k^2)\)。
现在我们会维护权值为 \(k\) 次方和、乘积两种形式了。思考一下其他形式：
- \(\text{or/and/xor}\)：拆位后，\(\text{and}\) 相当于只保留边权为 \(1\) 得边，\(\text{or}\) 反过来就行；\(\text{xor}\) 只需要在 \(0\) 边上写一个 \(1\)，边权为 \(1\) 的边上写一个 \(x\)，在 \(\bmod x^2\) 意义下做多项式乘法就行了。
- \(\gcd/\text{lcm}/[\gcd =1]\)：利用数论反演技巧即可。
- \(\max/\min\)：首先我们要知道钦定某条边必选的生成树计数怎么算：把这条边的边权设为 \(0\) 即可求出不选的方案，设为 \(1\) 即为随意的方案，二者相减即可。接下来只需要钦定 \(\max\) 计数即可。
- 感觉这些都很无聊，大部分好像都能用多项式技巧表达！
P5406
考虑直接计数，发现题目中那个东西，其实也可以看作某种 FWT。
FWT 是线性变换，符合 matrix tree 的要求，因此先把边权都 FWT 掉然后做点积，再 IFWT 就做完了。
时间复杂度 \(O(mw2^w+n^32^w)\)。
