2022.7.22 做题记录

为啥昨天没发做题记录呢

因为昨天颓了一天就写了一个题，就酱

CF246E Blood Cousins Return Present 6

给定 \(n\) 个节点的一片森林，每个节点上有一个字符串。

有 \(m\) 次询问，每次给出 \(v,k\)，你需要输出 \(v\) 子树内深度为 \(d_v+k\) 的节点上有多少个不同的字符串。

其中 \(d_u\) 表示 \(u\) 的深度。\(1\le n,m\le 10^5\)。

套路地拆出来每一层的节点，按照 \(\text{DFS}\) 序排序，现在相当于查询一个区间内去重后的元素个数。

设 \(p_i\) 为 \(i\) 这一字符串上一次出现的位置，转化为二维数点，离线后用树状数组处理即可。

AC Code

Luogu8149 泪光 | Tears Future 7.5

原题题意有点缝合的感觉，这里给出转化后的题意：

有 \(n\) 个变量 \(v_1,\cdots,v_n\)，现在有 \(m\) 次操作：

• 1 a b c d：已知一个新条件：若 \(v_a=v_b\)，则 \(v_c=v_d\)。
• 2 a b：已知一个新条件：\(v_a=v_b\)。
• 3 a b：询问是否能确定 \(v_a,v_b\) 恒相等。
• 4 b：询问有多少个 \(a\) 满足：能够确定 \(v_a=v_b\)。

\(1\le n,m\le 6\times 10^5\)。吐槽：为啥正解 \(O(n\log ^2n)\) 还给个这么大的范围啊 QwQ

不难发现条件二相当于连边，两个询问分别是「查询两点是否连通」以及「查询某点所在连通块大小」。

对于第一种条件，我们分两种情况讨论：

• 如果 \(a,b\) 已经连通，那么直接连接 \(c,d\) 即可。
• 否则，我们可以在每个连通块处维护一个 \(\texttt{std::multiset}\)，里面存上若干三元组 \((b,u,v)\)，表示若该连通块和 \(b\) 之间要连一条边，那么 \(u,v\) 也要连一条边。在连边时我们遍历较小的那个 \(\texttt{multiset}\)，如果发现了满足条件的三元组就在对应的 \(u,v\) 之间连边。这个过程类似递归，不过我们可以使用队列实现，减小常数。连边之后我们将较小的 \(\texttt{multiset}\) 与较大的那个合并即可。

由于每个三元组只会被合并 \(O(\log n)\) 次，时间复杂度为 \(O(n\log ^2n)\)。AC Code

SP21615 NAJPWG - Playing with GCD Present 7.0

有 \(T\) 组询问，每次给出正整数 \(n\)，求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n[\gcd(i,j)>1] \]

\(1\le n,T\le 10^5\)。

萌萌推式子题

交换求和顺序

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}[\gcd(i,j)>1] \]

简单容斥

\[\sum_{i=1}^ni-\left(\sum_{j=1}^i[\gcd(i,j)=1]\right) \]

发现后面就是 \(\varphi(i)\)，所以变为求 \(i-\varphi(i)\) 的前缀和

随便预处理一下就完事了，\(O(n)-O(1)\)。AC Code

推式子题真好玩，明天再来一道