2022.7.19 做题记录

7.20 发现昨天记录忘发了，补上

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今天出去办了一堆事啊（比如给新手机办手机卡！！），回家已经挺晚了，随几个萌萌题做两下

CF609E MST for each Edge Present 5

你有一个 $n$ 点 $m$ 边的无向图，第 $i$ 条边 $(u_i,v_i)$ 有边权 $w_i$。

对于每条边 $i$，你需要求出来：包含第 $i$ 条边的生成树的树上边权之和最小是多少。

$1\le n,m\le 2\times 10^5$。

原题目名称叫 Minimum spanning tree for each edge，实在有点长，这里简化了一下=_=

考虑先随便求一个最小生成树，然后加入一条非树边 $(u,v)$ 时，相当于要在树上 $u\to v$ 路径上选一条边删掉，再加入当前的边 $(u,v)$。

那么显然我们应该选边权最大的边，问题就转化为链上边权 $\max$，这个问题有一万种做法。于是就做完了。

AC Code

CF1706D Chopping Carrots Present 7.0

给定正整数 $n,k$，对于一个序列 $p$，满足 $1\le p_i\le k$，我们称其「代价」为

$$\max\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right) - \min\limits_{1 \le i \le n}\left(\left \lfloor \frac{a_i}{p_i} \right \rfloor \right)$$

你需要求出代价最小的序列的代价是多少。$1\le n,k\le 10^5,1\le a_i\le 10^5$。

由数论分块的常见结论我们知道每个 $a_i$ 只会变成最多 $O(\sqrt{a_i})$ 种数。

因此把这些数都找出来，类似2021 联合省选 D1T1 卡牌游戏的做法，在值域上做个双指针就行了。

时间复杂度 $O(n\sqrt{a_i})$，空间复杂度容易优化到 $O(n)$。我偷懒没写空间 $O(n)$ 的做法（（

详细看代码：AC Code

场上因为多测没请干净 wa 了，到最后也没调出来。。。垃圾多测

CF510D Fox And Jumping Future 7.5

有 $n$ 种技能，和一个无限长的纸带。

你可以花 $c_i$ 的代价学习第 $i$ 种技能，学习后就可以随时向左或向右跳 $l_i$ 格（不限次数）。

问你至少要花多少代价才能到达所有地方，无解输出 $-1$。

$1\le n\le 300,1\le l_i\le 10^9,1\le c_i\le 10^5$。

由 $\text{Bezout}$ 定理我们知道相当于要选出来若干个数使得它们的 $l_i$ 的 $\gcd=1$。

考虑跑一个类似最短路的东西，每次用 $c_i+F(x)$ 更新 $F(\gcd (x,l_i))$，不断进行松弛，$F(1)$ 就是最终的答案。

粗略分析一下，能到达一个点 $x$ 当且仅当 $x$ 是某个 $l_i$ 的约数，因此总点数大概是 $O(n\sqrt{V})$。

实际上大部分情况下 $d(x)\sim \sqrt[3]{x}$，我们可以直接把点数看做 $10^5$。由于 $c_i$ 均为正，可以使用 $\text{dijkstra}$。

复杂度看上去挺对的，反正能过（

AC Code <- 昨天晚上写挂了，调不出来睡了，第二天起来一下子就发现错了2333