在 O(nlogn) 的时间内计算三维偏序

我们设三维分别为 \(a,b,c\)，以及 \(S_1=\{(i,j)|a_i<a_j\},S_2=\{(i,j)|b_i<b_j\},S_3=\{(i,j)|c_i<c_j\}\)

在这里先假设 \(a,b,c\) 都是排列，也就是不存在相同的数

那么要求的就是 \(|S_1\cap S_2\cap S_3|\)

我们考虑求出来 \(A=|S_1\cap S_2|+|S_2\cap S_3|+|S_3\cap S_1|\)，这个就是三次二维偏序，\(O(n\log n)\)

然后我们发现

• 对于一组三维偏序，我们把它算了三遍
• 对于那些只有两维是偏序的数对，我们把它算了一遍。
• 对于偏了一维的，贡献为 \(0\)
• 对于偏了零维的，贡献也是 \(0\)

由对称性可以发现前两种数对的个数之和（每个只算一遍）与后面两种数对之和相等

所以「偏了三维」和「偏了两维」的数对个数恰好是所有数对个数的一半，也就是 \(\frac{n(n-1)}{2}\)

所以我们把这些都从 \(A\) 中减掉，再除以二就是三维偏序的个数了

为什么前两种数对个数之和与后两种数对个数之和相等呢

如果 \((i,j)\) 构成一个三维偏序，那么 \((j,i)\) 一定是那些三维都不偏序的数对中的一个

类似地如果 \((i,j)\) 偏了两维，那么 \((j,i)\) 肯定只偏一维

所以这个就是对称的，自然相等