【随笔】计算等比数列求和

真的是随笔。。

等比数列求和大家都知道，就是求 \(\sum_{i=0}^nq^i\)。一般来说我们都会对 \(p\) 取模。

下面我们来讨论如何快速地求这个值。暴力 \(O(n)\) 做就算了吧。

经典方法

小学生都知道，\(\sum_{i=0}^nq^i=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\)。证明也是小学生都会的错位相消。

那么我们求一下快速幂，求出 \(q-1\) 在 \(\bmod p\) 意义下的逆元，乘起来就行了。

遗憾的是，某些出题人并没有这么良心。如果 \(p\) 不是质数，\(q-1\) 在 \(\bmod p\) 意义下的逆元就不存在了>_<

因此，这个方法的要求就是：\(p\) 为质数。当然如果题目告诉你 \(\gcd(q-1,p)=1\) 也可以，不过一般没人这么干。

不知道算什么的算法

若 \(2\mid n\)：

\[\sum_{i=0}^nq^i=\sum_{i=0}^{n/2}q^i+\sum_{i=n/2}^nq^i-q^{n/2}=\sum_{i=0}^{n/2}q^i\cdot(1+q^{n/2})-q^{n/2} \]

若 \(2\nmid n\)：

\[\sum_{i=0}^nq^i=\sum_{i=0}^{(n-1)/2}q^i+\sum_{i=(n+1)/2}^{n}q^i=\sum_{i=0}^{(n-1)/2}q^i\cdot(1+q^{(n+1)/2}) \]

因此，不管怎样，问题的规模都会被我们缩减一半。

结合快速幂，在计算的同时算出 \(q^{n/2}\) 或者 \(q^{(n+1)/2}\) 的值，即可做到 \(O(\log n)\)。

矩阵快速幂加速递推

不难写出整式递推：记 \(S_n=\sum_{i=0}^nq^i\)，则有 \(S_n=qS_{n-1}+1,S_0=1\)。写成矩阵：

\[\begin{bmatrix}S_{n+1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_n&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}q&1\\0&1\end{bmatrix} \]

矩阵快速幂即可。\(O(\log n)\)。