【随笔】计算等比数列求和

真的是随笔。。

等比数列求和大家都知道，就是求 $\sum_{i=0}^nq^i$。一般来说我们都会对 $p$ 取模。

下面我们来讨论如何快速地求这个值。暴力 $O(n)$ 做就算了吧。

经典方法

小学生都知道，$\sum_{i=0}^nq^i=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$。证明也是小学生都会的错位相消。

那么我们求一下快速幂，求出 $q-1$ 在 $\bmod p$ 意义下的逆元，乘起来就行了。

遗憾的是，某些出题人并没有这么良心。如果 $p$ 不是质数，$q-1$ 在 $\bmod p$ 意义下的逆元就不存在了>_<

因此，这个方法的要求就是：$p$ 为质数。当然如果题目告诉你 $\gcd(q-1,p)=1$ 也可以，不过一般没人这么干。

不知道算什么的算法

若 $2\mid n$：

$$\sum_{i=0}^nq^i=\sum_{i=0}^{n/2}q^i+\sum_{i=n/2}^nq^i-q^{n/2}=\sum_{i=0}^{n/2}q^i\cdot(1+q^{n/2})-q^{n/2}$$

若 $2\nmid n$：

$$\sum_{i=0}^nq^i=\sum_{i=0}^{(n-1)/2}q^i+\sum_{i=(n+1)/2}^{n}q^i=\sum_{i=0}^{(n-1)/2}q^i\cdot(1+q^{(n+1)/2})$$

因此，不管怎样，问题的规模都会被我们缩减一半。

结合快速幂，在计算的同时算出 $q^{n/2}$ 或者 $q^{(n+1)/2}$ 的值，即可做到 $O(\log n)$。

矩阵快速幂加速递推

不难写出整式递推：记 $S_n=\sum_{i=0}^nq^i$，则有 $S_n=qS_{n-1}+1,S_0=1$。写成矩阵：

$$\begin{bmatrix}S_{n+1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_n&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}q&1\\0&1\end{bmatrix}$$

矩阵快速幂即可。$O(\log n)$。