自然对数e是怎么得来的?
1.e的科学解释
1.1金融故事: 从银行利率讲起
假设你有 1 元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1 元的利息（绿色圆），总共两元的余额。
现在引入第一个先验知识:
若银行年利率为a%，如果一年被n等分，则1/n年时瞬时利率为a%×1/n = a/n% (1)
现在银行允许半年付一次利息，那么到第六个月的瞬时利率是100%/2=1/2，你就能拿到开始存入银行(第0月)1元对应的100×(1/2) = 0.5元利息了。这时候你会马上把这0.5 元的利息再次存入银行，此时引入第二个先验知识:
只要是利息，经过一段时间也会产生新的利息，这叫“复利”。 (2)
这0.5 元的利息也将在下一结算周期产生利息，因为从第i/n年到(i+1)/n年，经历过的时间是1/n年，所以这0.5 元的利息在下一个周期结算中产生的利息是1/2×1/2=0.25元。
其中R...ij表示R...i 在Tj周期产生 的利息，所以一年结束后可以领取的金额数为
现在银行允许每4个月付一次利息，具体每个月情况如下所示:
所以一年结束后可以领取的金额数为
现在银行允许每3个月付一次利息，具体每个月情况如下所示:
所以一年结束后可以领取的金额数为
显然易得，如果一年经过n等分，那么一年结束后可以领取的金额数为
我们进行一系列的迭代运算，我们将看到以下结果：
| n | G |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 2.25 |
| 3 | 2.37 |
| 10 | 2.5937 |
| 100 | 2.705 |
| 1000 | 2.71692 |
| 10000 | 2.7181 |
| 100000 | 2.718268 |
只要在年利率保持 100%不变的情况下，不断地提高利息的结算次数，一年后的利息将会逼近2.718281828。这正式高等数学微积分里计算e的一个重要极限:
1.2 纯数故事: 一个指数函数的导函数是本身
2.单调有界函数必有极限
先验知识: 单调有界数列必存在极限
2.1 单调性
显然有
2.2 有界性
所以有en有界
由2.1和2.2可知en是单调有界数列，必然存在极限
3. e近似值
e的前1000位
e = 2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 957035035
参考文献
https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
