线性递归数列算法题

1 线性递归数列

       若数列(序列)\(a_n\) 满足\(a_n\)可由\(a_n\)前k项线性生成，则称\(a_n\)是线性递归数列，即有:

\[a_n = b_1a_{n-1} + b_2a_{n-2} + ... + b_ka_{n-k} \]

        其中\(b_i\)是常数

• 使用矩阵乘法 + 快速幂原理可以在O(logN)时间内得到答案
• 使用数列通项公式可以在O(1)时间内得到答案

2 Python代码

以斐波那契数列数列为例说明

import numpy as np
import datetime

A = [[1,1], [1, 0]]
a1 = [[1],[1]]

mat_a1 = np.asarray(a1)


for n in range(3, 39+1):
    # 矩阵乘法 + 快速幂
    t1_s = datetime.datetime.now()
    mat_R = np.asarray([[1,0], [0,1]])
    mat_A = np.asarray(A)

    r = n - 2
    while r > 0 :
        if r & 1 == 1:
            mat_R = mat_R.dot(mat_A)
        mat_A = mat_A.dot(mat_A)
        r >>= 1

    F_n = mat_R.dot(mat_a1)[0][0]
    t1_e = datetime.datetime.now()
    print("F_%d = %d\t cost time(1E-6s):%d" % (n, F_n, (t1_e - t1_s).microseconds))

图1 代码运行展示