BZOJ 1010--[HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化dp）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

题目链接：

　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010 

Solution

　　dp [ i ] = min( dp [ j ] + ( sum [ i ] - sum [ j ] + i - j - 1 - L ) ^ 2 )  ( j < i )

　　设f[ i ] = sum [ i ] + i , c = 1 + l

　　则dp [ i ] = min( dp [ j ] + ( f [ i ] - f [ j ] - c ) ^ 2 )

　　推完式子之后，用单调队列维护斜率。。。

　　dp [ k ] + ( f [ i ] - f [ k ] - c ) ^ 2 <= dp [ j ] + ( f [ i ] - f [ j ] - c ) ^ 2

　　dp [ k ] + f [ i ] ^ 2 - 2 * f [ i ]  * ( f [ k ] + c ) + ( f [ k ] + c ) ^ 2 <= dp [ j ] + f [ i ] ^ 2 - 2 *  f [ i ] * ( f [ j ] + c ) + ( f [ j ] + c ) ^ 2

　　dp [ k ] - 2 * f [ i ] * ( f [ k ] + c ) + ( f [ k ] +c ) ^ 2 <= dp [ j ] - 2 * f [ i ] * ( f [ j ] + c ) + ( f [ j ] + c ) ^ 2

　　即( dp [ k ] + ( f [ k ]+ c ) ^ 2 - dp [ j ]  - ( f [ j ] + c ) ^  2 ) /  2 * ( f [ k ] - f [ j ] ) <= f [ i ] 

　　推完式子之后用单调队列维护。。。就是斜率优化了。。

　　因为f [ i ] 是单调递增的，所以满足斜率优化的条件

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
   
const int maxn=50010;
int n,L;
LL a[maxn],f[maxn],s[maxn],dp[maxn],q[maxn];
   
double slope(LL a,LL b){
    return (dp[a]-dp[b]+(f[a]+L)*(f[a]+L)-(f[b]+L)*(f[b]+L))/(2.0*(f[a]-f[b]));
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&L);L++;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=s[i]+i;
    int l=1,r=1;dp[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=f[i]) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+(f[i]-f[q[l]]-L)*(f[i]-f[q[l]]-L);
        while(l<r && slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}

　　

　　

This passage is made by Iscream-2001.