欧拉图学习笔记

未完待补。

欧拉图

从 OI Wiki 上刨下来，然后消化了一下进行输出

定义

补这些东西的时候好多自己平时理解的概念其实是不准确甚至错误的，可以看看：

• 途径 (walk): 联结一系列顶点的序列（长度可为有限或无限），边的数量被称为这条途径的长度（当然有权就是权值之和）
• 迹 (trail): 对于一个途径 \(w\)，若 \(e_1, e_2, \dots, e_k\) 两两不同，则称 \(w\) 是一条轨
• 路径 (path, 又称为简单路径 (simple path)): 对于一条迹 \(w\)，如果其联结的点的序列中点两两不同，则称 \(w\) 是一条路径
• 回路 (circuit): 对于一条迹 \(w\)，若起始顶点 \(v_0\) 等于最终顶点 \(v_k\)，则称 \(w\) 是一条回路
• 环/圈 (cycle): 又称为简单回路/环(simple circuit): 对于一条回路 \(w\)，若 \(v_0 = v_k\) 是点序列中 唯一 重复出现的点对，则称 \(w\) 是一个环

可能对于回路和环的定义用中文表示比较奇怪，所以采用英文表述：

A circuit is path that begins and ends at the same vertex, a circuit that doesn’t repeat vertices is called a cycle.

• 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
• 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路（通路意同途径）
• 欧拉图：具有欧拉回路的图
• 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若一张图 \(G\) 是欧拉图，那么它就是若干个环的并，并且每条边被包含在奇数个环内。

判定方法

注意 充分必要条件

1. 无向图是欧拉图当且仅当：
   • 非零顶点的是相通的
   • 顶点的度数都是偶数
2. 无向图是半欧拉图当且仅当：
   • 非零度顶点是连通的
   • 恰好有 \(2\) 个奇度顶点
3. 有向图是欧拉图当且仅当：
   • 非零顶点是强连通的
   • 每个顶点的入度和出度相等
4. 有向图是半欧拉图当且仅当：
   • 非零度点是 弱连通 的
   • 至多一个顶点的出度和入度之差是 \(1\)
   • 至多一个顶点的入度和出度之差是 \(1\)
   • 其他顶点的入度和出度相等