欧拉回路一个定理的证明

定理:当G是无奇度结点的连通无向图时，G必有欧拉回路。

网上基本上没有证明，让人很不爽。

 

首先，如果一个联通无向图，点度均为偶数，必有一个简单环。

因为如果没有简单环，那么图是树，E=V-1

每个点不能是孤立点，度>=2

E>=V*2/2

E>=V

与E=V-1矛盾，所以必有简单环。

 

那么为了找出欧拉路径，可以先随意找一个简单环。

在原图中删去它上的边，并更新点的度数。

 

现在，原图变成了若干满足性质点度均为偶数的联通块。

（显然，减一个环上的边，不会改变点度的奇偶性）

又因为联通块是联通的，所以可以递归做。

 

现在只需要证明，联通块的欧拉回路和原图的简单环可以并在一起。

一个环和另一个环可以并在一起，当且仅当它们的点集有交集（显然）

那么，现在只需要证明每个联通块的欧拉回路（本质是一种环）与原图的简单环，有交点。（结论　１）

 

反证法，

如果没有交点，那么该联通块内的点的所有相邻的边还存在。（因为没有删去）

所以该联通块内存在一点，连了某些联通块外的点（要不然，这个联通块就与世隔绝了）。

由假设有，某些外点与环上的点无交集。

所以某些外点必定属于另一分割出的联通块。

所以这就不是一个极大的联通块，与假设矛盾。

 

所以就证明了结论　１，

所以证明该定理。