置换的一点小性质

一

计伟课上偶然知道了两个对换相乘后得到置换\(P\)
对换应该是指分解后环大小都是2的置换吧？（姑且这么定义）
则\(P\)必为分解后环的大小成对出现的置换
证明：
不失一般性 设对换

\[\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 &0 &\cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{matrix} \right]\tag{A} \]

即为反单位矩阵（其实我也不知道他是不是叫这个名字）
对换\(B\)形式未知

但考虑有对换性质，矩阵\(A,B\)必为对称矩阵，即关于主对角线对称。

一个对称矩阵无论左乘还是右乘一个反对角矩阵就是一个反对称矩阵（我也不知道他叫不叫这个名字，反正就是关于副对角线对称的矩阵）
然后就整完了。

二

\[\exists Q \space s.t. \space QPQ^{-1}=R \]

则称\(P,R\)为共轭置换，共轭置换满足分解后环大小一一对应。
证明也太难了，感觉上大致是两个图同构。
万恶的enigma