min-max容斥复习

其实\(min-max\)容斥并不难

\(kth-max(S)\)指集合S的第\(k\)

考虑设系数为\(f(|T|)\)

\[kth-max(S)=\sum_{T \subset S,T \neq \emptyset} f(|T|)min(T) \]

从小到大排第\(x\)个的贡献

\[[n-k+1=x]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} f(i+1) \]

\[[n-x=k-1]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} f(i+1) \]

\[[t=k-1]=\sum_{i=0}^t \tbinom{t}{i} f(i+1) \]

二项式反演

\[f(t+1)=\sum_{i=0}^t \tbinom{t}{i} (-1)^{t-i} [i=k-1] \]

\[f(t+1)=\tbinom{t}{k-1} (-1)^{t-k+1} \]

\[f(t)=\tbinom{t-1}{k-1} (-1)^{t-k} \]

考虑\(kth-min\)

\[kth-min(S)=\sum_{T \subset S,T \neq \emptyset} g(|T|)max(T) \]

\[[n-k+1=x]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} g(i+1) \]

所以$$g=f$$
洛谷的一道好题
重返现世

posted @ 2019-04-16 06:59  Yuhuger  阅读(192)  评论(0编辑  收藏  举报