「模拟赛」多校 A 层联训 9

合集 - 模拟赛(23)

1.「模拟赛」高一下三调5.13（附关于二分图匈牙利建边的详细思考）2024-05-132.模拟赛2024-04-153.「模拟赛」CSP提高组模拟1（7.14）2024-07-144.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟5（7.22）2024-07-255.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟4（7.21）2024-07-246.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟3（7.20）2024-07-217.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟2（7.19）2024-07-208.CSP 集训（9.23-9.26）2024-10-109.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟17（8.10）2024-08-1110.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟15（8.7）2024-08-0811.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟14（8.6）2024-08-0712.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟11（7.29）2024-08-0613.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟10（7.28）2024-07-2914.joke 学长出题比赛记录2024-07-2615.「模拟赛」暑期集训CSP提高模拟6（7.23）2024-07-2516.CSP 联训 22024-10-0517.CSP 联训 32024-10-0718.「模拟赛」多校 A 层联训 8（更新 T3）2024-10-1719.「模拟赛」CSP-S 模拟 11（T2 超详细）2024-10-1420.「模拟赛」多校 A 层联训 52024-10-1321.「模拟赛」多校 A 层联训 4（卖品：CTH）2024-10-1022.【小 w 的代数】（打什么 n^3，提供一种 n log 的解法）2024-10-21

23.「模拟赛」多校 A 层联训 92024-10-20

收起

A. 排列最小生成树 (pmst)

大家都没签上的签到

调参调到 110 能过？！但赛时用 set 这个大常数选手存的边，挂了个 log，所以跑不动大样例。

正解：

发现只按把编号相邻的点连边构成一条链，此时所有边的长度都 $\le n$，所以无论如何我们都能保证最小生成树每条边的边权 $\le n$。

那么我们只把边权 $\le n$ 的边连上即可。边权 $\le n$ 需要满足 $abs(i-j)$ 和 $abs(p_i-p_j)$ 至少有一个 $\le \sqrt{n}$。所以每一个点建上 $2\times \sqrt{n}$ 条边即可。

边权最多只有 $n$，所以开个 vector 数组 $v_i$ 存边权为 $i$ 的所有边，这样避免排序的 log 复杂度。

B. 卡牌游戏 (cardgame)

签到

设 $lcm$ 为 $n$ 和 $m$ 的最小公倍数，$gcd$ 为 $n$ 和 $m$ 的最大公因数，显然 $lcm$ 轮时正好为一个循环。

而这前 $lcm$ 轮内保证有每两个人最多比一次。

$n=k_1\times gcd$，$m=k_2\times gcd$，所以在一次循环中 $a_i$ 和 $b_j$ 比较时一定有 $i\mathrm{\%}gcd=j\mathrm{\%}gcd$，并且对于一个 $i$ 会对应所有的 $j(ifj\mathrm{\%}gcd=i\mathrm{\%}gcd)$，所以把 1~n 中所有模 $gcd$ 余数相同的存一起，1~m 中所有模 $gcd$ 余数相同的存一起。对于所有的 $i\in [1,n]$，计算 1~m 中 $i\mathrm{\%}mod$ 的那个桶里有多少小于自己的，等于自己的，大于自己的就好了。

共有 $\lfloor \frac{n\times m}{lcm}\rfloor$ 次循环，求出一次循环 A 赢的次数、B 赢的次数，乘上循环次数就好了。

对于 $n\times m\mathrm{\%}lcm$ 的那部分，暴力模拟就好。

C. 比特跳跃 (jump)

二进制运算性质

发现其实是一题三做。

• $and$ 部分

  发现大部分数都可以做到答案为 0，只有在 $n$ 的二进制表示全为 1 的时候特殊，这个时候除了 $n$ 之外的为 0，把与 $n$ 相关的边建上跑最短路求出的 $di{s}_n$ 为 n 的答案；

• $xor$ 部分

  将异或运算看成是每一位上相加但不进位，所以每次改变二进制表示下的一位再连边连向原数就好了

• $or$ 部分

  或的数越多，权值就越大，所以一个数只由 1 或者自己二进制下 1 的子集表示的数转移过来较优。

  先把 1 连向每个点和那 $m$ 条边跑一边最短路，然后对于每个数用它二进制下 1 的子集表示的数的权值更新自己，同样每次只改变二进制的一位。

  把当前每个数的权值作为边权存进 Dij 的堆里，再跑一遍最短路。