「模拟赛」多校 A 层联训 8（更新 T3）

\(22pts\)，本来可以切掉前两个题的？！

A. 传送 (teleport)

签到

12 pts，错的很唐！我把 Dij 用的 dis 数组直接赋值成了点到 1 号点之间的 x 距离和 y 距离的最小值，没再赋成极大值，这样会改变 Dij 过程中点遍历到的顺序，然后就跑不出最短路了。

好像不能算挂分？但其实赛时有点感觉是这的问题了，但怎么就是没改了试试呢！！

正解：

对于传送，直接分别按 X 和 Y 为关键字排一次序，排序后相邻的点建边跑 Dij 就做完了。

B. 排列 (permutation)

简单排列组合

官方题解状压发现想不到，所以考虑直接组合做降低这道题的难度，这样我们就多了一个签到！

由于 \(\frac n k\le 10\)，所以 k 的倍数最多有 10 个。

那么我们直接枚举所有 k 的倍数的全排列，时间复杂度为 \(O(\frac n k!)\) ，然后判断枚举出的排列中哪几对两两相邻的数的最大公约数为 k，这些对相邻的数之间必须要有一个其他的数把两个数隔开。

设有 \(mst\) 对相邻的数有最大公约数为 k，\(num=\frac n k\)，那么在剩余的数中选出 \(mst\) 个数先隔开这些不能相邻的数（需要考虑顺序），方案为 \(A^{mst}_{n-num}\)。

然后把选出的 \(mst\) 个数看成与其左边的数绑在一起，那么现在有 \(num\) 个位置有数，还有 \(num+1\) 个位置可以放数，剩下的这 \(n-num-mst\) 个数就随便放，其实就是【有顺序的 \(n\) 球放在 \(m\) 个盒子里，盒子可以为空】的问题（你怎么知道我赛时这个式子推错了，然后 T2 只有特殊性质分），设 \(rest = n-num-mst\)，方案数为 $rest!\times C_{rest+num+1-1}^{num+1-1} $。

那么答案就是，对于所有 \(1-\frac n k\) 的不同的排列，\(\sum A^{mst}_{n-num}\times rest!\times C_{rest+num+1-1}^{num+1-1}\)。

总时间复杂度为 \(O(\lfloor \frac n k\rfloor !\times \lfloor \frac n k\rfloor )\)

C. 战场模拟器 (simulator)

线段树（不难）

看起来好吓人哦！但是其实很简单。

发现其实每个 CTH 只会死一次，最多死 \(n\) 个 CTH，并且每次操作最多添加一个护甲，最多添加 \(Q\) 个护甲，所以遇到这两种情况直接暴力就行。

线段树维护区间 已死亡 CTH 数量、区间最小值、区间最小值个数。（一个 CTH 的的生命值若为负，则不算入区间最小值中）

• 对于询问：

  • 询问已死亡 CTH 数量直接回答就好；
  • 询问濒死 CTH 数量查看区间最小值是否为 0，若是则答案为区间最小值个数，否则为 0。

• 对于更新：

  • 添加盾时，set 维护一个 pair 双元组，第一个数为盾的位置，第二个数为盾的数量，每次判断该位置是否有盾，若有的话，取出把盾的数量加 1 再加进去，没有则插入 1 的数量；
  • 区间 \([l,r]\) 减生命值 \(x\) 时，先在 \([l,r]\) 区间把所有有盾的位置找到，将其盾的数量减 1，并且把所有有盾的位置单点修改生命值加 \(x\)，然后 \([l,r]\) 区间整体减 \(x\)；
  • 加生命值直接区间加。