线性dp

合集 - 学习笔记/模板(11)

1.线性筛求素数2024-02-032.取余运算（蒙哥马利）2024-02-053.区间dp2024-02-17

4.线性dp2024-02-17

5.背包dp2024-02-176.辗转相除2024-02-057.「学习笔记」数位DP2024-07-098.线段树模板2024-02-209.「图论」Bron-Kerbosch 算法2024-07-2310.tarjan 求强连通分量、边双（超详细）（一）2024-09-0911.一文轻松搞定 tarjan 求割点、点双、割边（二）2024-09-10

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线性动态规划:

• 不用多说，主要应用于求上升子序列，下降子序列等
• 直接看例题：
  
  

样例输入：

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

样例输出：

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX = 1050;

int n, ans;
int f[MAX], a[MAX], pre[MAX], en;
//f[i]表示前i个数中的最大上升序列
//pre[]用来打印路径

void putout(int x){
    if(x == 0) return ;
    putout(pre[x]);//递归一直求该序列中的上一个数
    printf("%d ",a[x]);
}

int main(){
    
    int x;
    while(~scanf("%d",&x)) a[++n] = x;

    for(int i=1; i<=n; i++){
        f[i] = 1;
        for(int j=1; j<i; j++){  //从1到i中比i小的个数
            if(a[i]>a[j] and f[i]<f[j]+1){
                f[i] = f[j] + 1;
                pre[i] = j;  //标记，i的前一个数为j;
            }
        }
        if(ans < f[i]){
            ans = f[i];
            en = i;
        }
    }
    printf("max=%d\n",ans);
    putout(en); //递归输出
   
    return 0;   
}

经过第一道例题，我们已经了解线性dp的特点以及大致模板了。现在上难度：

样例输入：

7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2

样例输出：

4

解：

将南岸城市和北岸城市在坐标图中表示出来，将一一对应的两城市连线，容易发现，若连线交叉，则会发生事故。那么我们可以知道按南岸城市坐标从小到大排序，相对应的北岸城市坐标求最大上升序列个数即为答案。

代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX = 5050;

int n, m, tot;
int ans;
int f[MAX], ntos[10050];

int main(){

    int x, y, Nmax = 0;

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d%d",&x, &y);
        ntos[x] = y;  //表示南岸坐标为x的城市对应的北岸坐标
        Nmax = max(Nmax, x); //求出南岸最大坐标
    }

    //按南岸城市坐标大小依次遍历
    for(int i=1; i<=Nmax; i++){
        if(ntos[i])
        {
            int a = ntos[i];
            ntos[i] = 0;
            ntos[++tot] = a;
        }
    }
    //即可转化为求最大上升序列

    for(int i=1; i<=n; i++){
        f[i] = 1;
        for(int j=1; j<i; j++){
            if(ntos[i] > ntos[j]){
                f[i] = max(f[i], f[j]+1);
            }
        }
        ans=max(ans, f[i]);
    }

    printf("%d", ans);

    return 0;
}