P2900 [USACO08MAR] Land Acquisition G

题目

思路

我们按照土地的长为第一关键字，土地的宽为第二关键字，从大到小排序，对于将被大矩形完全包含的小矩形删去，因其不影响结果，这样就得到了长严格下降，宽严格上升的序列。

从左往右考虑合并，假如将 \(l\) 到 \(r\) 段合并，那么长取矩形 \(l\) 的长 \(w_l\)，宽取矩形 \(r\) 的宽 \(h_r\)。

可以写出转移方程 \(f_i = \min\limits_{j = 0}^{i - 1}\{f_j + h_i \cdot w_j\}\)，然后就是转化为 \(y = kx + b\) 的形式，放入李超线段树随便搞就过了。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;
using PII = pair<int, int>;

const int N = 1000010;

int n, cnt;
PII p[N], a[N];

struct func {
    int k, b = 1e18;
};

struct node {
    func id;
} tr[N << 2];

int gety(func id, int x) {
    return id.k * x + id.b;
}

bool compare(func f1, func f2, int x) {
    int y1 = gety(f1, x);
    int y2 = gety(f2, x);
    return y1 < y2;
}

void modify(int u, int l, int r, int pl, int pr, func s) {
    int mid = l + r >> 1;
    if (l > r) return;
    if (pl <= l && r <= pr) {
        if (tr[u].id.b == 1e18) {
            tr[u].id = s;
            return;
        }
        if (compare(s, tr[u].id, mid)) swap(tr[u].id, s);
        if (compare(s, tr[u].id, l)) modify(u << 1, l, mid, pl, pr, s);
        if (compare(s, tr[u].id, r)) modify(u << 1 | 1, mid + 1, r, pl, pr, s);
        return;
    }
    if (pl <= mid) modify(u << 1, l, mid, pl, pr, s);
    if (pr > mid) modify(u << 1 | 1, mid + 1, r, pl, pr, s);
}

int query(int u, int l, int r, int x) {
    int mid = l + r >> 1;
    int ans = gety(tr[u].id, x);
    if (l == r) return ans;
    if (x <= mid) return min(ans, query(u << 1, l, mid, x));
    else return min(ans, query(u << 1 | 1, mid + 1, r, x));
}

int f[N];

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].first >> p[i].second;
    sort(p + 1, p + n + 1, greater<PII>());
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[++cnt] = p[i];
        int j = i;
        while (j <= n && p[j].first <= p[i].first && p[j].second <= p[i].second) j++;
        i = j - 1;
    }
    n = cnt;
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        modify(1, 1, N - 10, 1, N - 10, {p[i].first, f[i - 1]});
        f[i] = query(1, 1, N - 10, p[i].second);
    }
    cout << f[n] << '\n';
    return 0;
}