【图论】【模板】最长路、最短路

最短路

Dijkstra 算法

思路

Dijkstra 算法，采用贪心思想，在某一时刻如果 \(dis\) 数组中 \(dis_u\) 最小，那么就固定 \(u\)，\(dis_u\) 一定是 \(1\rightarrow u\) 的最短路径，然后我们再通过 \(u\) 更新与 \(u\) 有边相连的 \(v\)，如果 \(dis_v > dis_u + w\)，那么 \(dis_v = dis_u + w\) 然后再找 \(dis\) 数组中最小的这样循环直到没有点可以被更新。

时间复杂度：\(O(m \log n)\)。

代码

P4779 【模板】单源最短路径（标准版）代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using PII = pair<int, int>;

const int N = 100010, M = 400010;

struct edge {
	int to, next, w;
}e[M]; 

int head[N], idx;

void add(int u, int v, int w) {
	idx++, e[idx].to = v, e[idx].next = head[u], e[idx].w = w, head[u] = idx;
}

int dis[N];
bool vis[N];

void dijkstra(int s) {
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q; 
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	q.push({0, s});
	dis[s] = 0;
	while (q.size()) {
		int t = q.top().second;
		q.pop();
		if (vis[t]) continue;
		vis[t] = true;
		
		for (int i = head[t]; i; i = e[i].next) {
			int to = e[i].to;
			if (dis[to] > dis[t] + e[i].w) {
				dis[to] = dis[t] + e[i].w;
				q.push({dis[to], to});
			}
		}
	}
}

int n, m, s;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	cin >> n >> m >> s;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		add(u, v, w);
	}
	
	dijkstra(s);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dis[i] << ' ';
	cout << '\n';
	return 0;
}

Bellman-Ford 算法

思路

Bellman-Ford 算法是通过对图松弛 \(n - 1\) 轮，第 \(i\) 轮可以保证从源点走出去 \(i\) 条边到达的点都已经更新完毕，因为任意两点之间的边数不超过 \(n - 1\)，所以松弛 \(n - 1\) 轮即可。

如果第 \(n\) 轮还可以进行松弛，说明有负环。

代码

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）可以拿到 70 分。

#include <bits/stdc++.h> 

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = (1ll << 31) - 1;

struct edge {
    int u, v, w;
} e[M];

int dis[N];
int n, m, s;

void bellmanford(int u) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
    dis[u] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (dis[e[j].v] > 1ll * dis[e[j].u] + e[j].w) {
                dis[e[j].v] = dis[e[j].u] + e[j].w;
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n >> m >> s;
    int u, v, w;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
    bellmanford(s);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dis[i] << ' ';
    return 0; 
}

SPFA 算法

思路

Bellman-Ford 算法的优化版本，即只有一个点被更新的时候才入队对其他点进行更新。

时间复杂度：\(O(nm)\)。

代码

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）代码。

#include <bits/stdc++.h> 

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = (1ll << 31) - 1;

struct edge {
    int to, next, w;
} e[M];

int head[N], idx;

void add(int u, int v, int w) {
    idx++, e[idx].to = v, e[idx].next = head[u], e[idx].w = w, head[u] = idx;
}

int dis[N];
bool st[N];
queue<int> q;
int n, m, s;

void spfa(int u) {
    q.push(u);
    st[u] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF; 
    dis[u] = 0;
    
    while (q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        
        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next) {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > 1ll * dis[t] + e[i].w) {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                if (!st[to]) {
                    st[to] = true;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n >> m >> s;
    int u, v, w;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w);
    }
    spfa(s);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dis[i] << ' ';
    return 0; 
}

最长路

SPFA 求最长路

思路

我们将 SPFA 求最短路的算法中的更新信息 if (dis[to] > dis[t] + e[i].w) 换成 if (dis[to] < dis[t] + e[i].w) 就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h> 

using namespace std;

const int N = 1510, M = 50010;

struct edge {
	int to, next, w;
} e[M];

int head[N], idx;

void add(int u, int v, int w) {
	idx++, e[idx].to = v, e[idx].next = head[u], e[idx].w = w, head[u] = idx;
}

int dis[N];
bool st[N];
queue<int> q;

void spfa(int u) {
	q.push(u);
	st[u] = true;
	memset(dis, 0xcf, sizeof(dis));
	dis[u] = 0;
	
	while (q.size()) {
		int t = q.front();
		q.pop();
		st[t] = false;
		
		for (int i = head[t]; i; i = e[i].next) {
			int to = e[i].to;
			if (dis[to] < dis[t] + e[i].w) {
				dis[to] = dis[t] + e[i].w;
				if (!st[to]) {
					st[to] = true;
					q.push(to);
				}
			}
		}
	}
}

int n, m;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	cin >> n >> m;
	int u, v, w;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> u >> v >> w;
		add(u, v, w);
	}
	spfa(1);
	if (dis[n] == 0xcfcfcfcf) cout << "-1\n";
	else cout << dis[n] << '\n';
	return 0; 
}