【数学】【模板】欧拉函数

欧拉函数

思想

\(\varphi(n)\) 表示的是 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的个数。

怎么求 \(\varphi(n)\) 呢？

先将 \(n\) 质因数分解：\(n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\)，那么 \(\varphi(n) = n\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\left(1 - \dfrac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right)\)。

证明：

要保留所有 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数字，需要用到容斥原理，如下：

1. 删除 \(1\sim n\) 中所有 \(p_1, p_2, \cdots p_k\) 的倍数；
2. 加上所有 \(p_ip_j\) 的倍数（\(i, j\) 互不相同）；
3. 减去左右 \(p_ip_jp_k\) 的倍数（\(i, j, k\) 互不相同）；
4. 加上所有 \(p_ip_jp_kp_l\) 的倍数 （\(i, j, k, l\) 互不相同）。

然后是减去 5 个质因数相乘，加上 6 个质因数相乘，以此类推。

展开 \(\varphi(n) = n\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\left(1 - \dfrac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right)\)，然后发现就是上面那些操作。

也可以写成：\(\varphi(n) = n\cdot \dfrac{p_1 - 1}{p_1}\cdot \dfrac{p_2 - 1}{p_2}\cdots \dfrac{p_n - 1}{p_n}\)（感谢 @沃若 的建议）。

代码

void solve() {
	int x, ans;
	cin >> x;
	ans = x;
	for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
		if (x % i == 0) {
			(ans /= i) *= (i - 1);
			while (x % i == 0) x /= i;
		} 
	}
	if (x > 1) (ans /= x) *= (x - 1);
	cout << ans << '\n';
}

\(O(n)\) 求欧拉函数

思想

即在线性筛的过程中求出所有数字的 \(\varphi\)。

首先，如果 \(x\) 是个质数，\(\varphi(x) = x - 1\)，因为在 \(1\sim x\) 中除了 \(x\) 都与 \(x\) 互质。

然后，想一想怎么求 \(phi(i \cdot j)\)，其中 \(i\) 是一个正数，\(j\) 是一个质数且是 \(i\cdot j\) 的最小质因数。

首先，如果 \(i\bmod j \ne 0\)，那么证明 \(i\) 中也没有 \(j\)，那么根据上面的公式：

\[\varphi(n) = n\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\left(1 - \dfrac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right) \]

我们发现 \(j\) 是第一次出现，所以要在 \(\varphi(i)\) 乘上 \(j \cdot \left(1 - \dfrac{1}{j}\right)\)，根据乘法分配率，就是乘上 \(j - 1\)。

然后，根据上面的公式，假设 \(i \bmod j = 0\)，那么证明 \(i\) 中已经有 \(j\) 了，已经出现过 \(\left(1 - \dfrac{1}{j}\right)\)，所以不需要再乘了，我们只要乘上 \(j\) 就可以了。

特殊的，\(\varphi(1) = 1\)。

代码

const int N = 1000010;

bool inp[N];
int prime[N], cnt;
int phi[N];

void getprime(int n) {
    inp[0] = inp[1] = true;
    phi[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!inp[i]) {
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }

        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            inp[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}